As-tu fait les questions précédentes ? Car elles sont plus difficiles et te fournissent quasiment tout pour répondre.
Par la question 2b, on sait que 1 < un <= (1 + V(5)) /2. Donc le dénominateur de u(n+1)-un est strictement positif. Ensuite, comme p(x) est un trinôme du 2nd degré, dont le coefficient devant x^2 est positif, sa courbe est une parabole tournée vers le haut, admettant un minimum en x = 1/2.
Donc p est strictement croissante sur [1/2 ; + infini[ donc a fortiori sur [1; 1+V(5)/2]. En composant l'inégalité du 2b par p, le sens est donc conservé, ça donne p(1) < p(un) <= p((1+V(5))/2) d'où -1 < p(un) <= 0.
Le numérateur est donc négatif ou nul, donc u(n+1)-un est positif ou nulle, on déduit alors que un est croissante.
3. Croissante et majorée donc théorème de convergence monotone prouve qu'elle converge.
4. Si un converge vers une limite L alors u(n+1) aussi converge vers L, logique. Par définition, u(n+1) = V ( un + 1), donc en passant à la limite ça donne L = V (L+1) ==> L^2 = L + 1. On a déjà les solutions, on garde celle positif 1+V(5)/2.
Jz te laisse finir le reste
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inesaissoui
Merci mais en réalité c'est vraiment la question 4 qui me pose un problème . pourriez vous m'expliquer svp?
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Explications étape par étape:
As-tu fait les questions précédentes ? Car elles sont plus difficiles et te fournissent quasiment tout pour répondre.
Par la question 2b, on sait que 1 < un <= (1 + V(5)) /2. Donc le dénominateur de u(n+1)-un est strictement positif. Ensuite, comme p(x) est un trinôme du 2nd degré, dont le coefficient devant x^2 est positif, sa courbe est une parabole tournée vers le haut, admettant un minimum en x = 1/2.
Donc p est strictement croissante sur [1/2 ; + infini[ donc a fortiori sur [1; 1+V(5)/2]. En composant l'inégalité du 2b par p, le sens est donc conservé, ça donne p(1) < p(un) <= p((1+V(5))/2) d'où -1 < p(un) <= 0.
Le numérateur est donc négatif ou nul, donc u(n+1)-un est positif ou nulle, on déduit alors que un est croissante.
3. Croissante et majorée donc théorème de convergence monotone prouve qu'elle converge.
4. Si un converge vers une limite L alors u(n+1) aussi converge vers L, logique. Par définition, u(n+1) = V ( un + 1), donc en passant à la limite ça donne L = V (L+1) ==> L^2 = L + 1. On a déjà les solutions, on garde celle positif 1+V(5)/2.
Jz te laisse finir le reste