Bonjour, je n'arrive pas à l'exercice 2 de mon dm de mathématiques, si vous pouvez m'expliquer comme.... Pergunta de ideia deamandiner1230

July 2022 1 50 Report

Bonjour, je n'arrive pas à l'exercice 2 de mon dm de mathématiques, si vous pouvez m'expliquer comment il faudrait faire ce serais super. Merci pour votre aide.

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Micka44

Bonjour :))

Tu trouveras ci-joint le tableau de variation de f(x)

Question 1

$(U_n)\ d\'efinie\ par\ U_0=3\ et\ \forall n\in \mathbb N\\\\U_{n+1}=\frac{4U_n-2}{U_n+1}$

$On\ pose\ f(x)=\frac{4x-2}{x+1}\\\\RAPPEL:(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}\\\\u=4x-2\ \ \ \ u'=4\\v=x+1\ \ \ \ v'=1\\\\f'(x)=\frac{4(x+1)-1(4x-2)}{(x+1)^{2}}\\\\f'(x)=\frac{6}{(x+1)^{2}}\\\\On\ sait\ que\ (x+1)^{2}\geq0\ \forall x\in\mathbb R\\\Leftrightarrow f'(x)>0\ \forall x\in\mathbb R[-1]\\(-1\ est\ une\ valeur\ interdite)$

Question 2

$Sur\ [1;+\infty],\ f(x)\ est\ strictement\ croissante$

Question 3

$><img src=$

Question 4

$On\ d\'efinit\ la\ suite\ (V_n)\ par\ \forall n\in\mathbb N:\ V_n=\frac{U_n-2}{U_n-1}$

$><img src=$

$V_0=\frac{U_0-2}{U_0-1}=\frac{1}{2}\\\\(V_n)\ est\ une\ suite\ g\'eom\'etrique\ de\ raison\ q=\frac{2}{3}\ et\ de\ premier\\terme\ V_0=\frac{1}{2}\\\\Donc\ V_n=\frac{1}{2}*(\frac{2}{3})^{n}$

Question 5

$On\ sait\ que\ V_n=\frac{U_n-2}{U_n-1}\\\\\Rightarrow V_n(U_n-1)=U_n-2\\\Rightarrow V_n*U_n-V_n=U_n-2\\\Rightarrow V_n*U_n-U_n=V_n-2\\\Rightarrow U_n(V_n-1)=V_n-2\\\boxed{\Rightarrow U_n=\frac{V_n-2}{V_n-1}}$

$U_n=\frac{\frac{1}{2}*(\frac{2}{3})^{n}-2}{\frac{1}{2}*(\frac{2}{3})^{n}-1}\\\\U_n=\frac{\frac{1}{2}*((\frac{2}{3})^{n}-4)}{\frac{1}{2}*((\frac{2}{3})^{n}-2)}\\\\\boxed{U_n=\frac{(\frac{2}{3})^{n}-4}{(\frac{2}{3})^{n}-2}}$