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1) a) démontrer que ON = 2 m/(m-3)

la droite (AM) coupe l'axe l'axe des ordonnées en N

l'équation de la droite (AM) est : y = a x + b

a : coefficient directeur = (0 - 2)/(m - 3) = - 2/(m-3)

donc b  ordonnée à l'origine

⇒ 0 = - 2 m/(m-3) + b ⇒ b = 2 m/(m-3)

⇒ donc ON = √[0 + (2 m/(m-3))²] = 2 m/(m-3)

b) déduisez-en que l'aire du triangle OMN est égale à  m²/(m-3)

l'aire du triangle OMN  est :  A = 1/2) OM * ON = 1/2(m * 2 m/(m-3) = m²/(m-3)

OM = √[(m - 0)² + 0] = √m² = m

2) quel est l'ensemble des nombre m pour lesquels l'aire (OMN) ≤ 16

m²/(m-3)  ≤ 16    puisque  m > 3  ⇔ m²/(m-3) - 16 ≤ 0

m² - 16 m + 48)/(m-3) ≤ 0

Δ = 16² - 4*48 =  256- 192 = 64 ⇒√64 = 8

m1 = 16+8)/2 = 12

m2 = 16-8)/2 = 4

m        0                  3                4                12              + ∞

N                  +                +         0       -        0       +

D                  -           ||      +                  +                 +

Q                  -           ||      +        0        -        0        +    

m ∈ [0 ; 3[ et [4 ; 12]