Bonjour je n’arrive pas à résoudre mon exercice de math.
Monsieur Économe décide de se constituer une épargne.
Le 1er juillet 2020, il a déposé sur un compte rémunéré au taux annuel de 2,5 % la somme de 800
€.
Il veut calculer les montants des capitaux qu'il obtiendra chaque année s'il n'effectue que ce seul
versement initial. On note un le capital acquis au 1er juillet de l'année 2020 + n.
Ainsi u = 800.
1. Calculer U₁-
2. Déterminer la nature de la suite (un) et donner l'expression de un en fonction de n pour
tout entier naturel n.
3. Résoudre l'inéquation 800 × 1,025n ≥ 1 000.
4. En déduire en quelle année le capital acquis dépassera pour la première fois 1 000 €.
Monsieur Économe décide de se constituer une épargne.
Le 1er juillet 2020, il a déposé sur un compte rémunéré au taux annuel de 2,5 % la somme de 800
€.
Il veut calculer les montants des capitaux qu'il obtiendra chaque année s'il n'effectue que ce seul
versement initial. On note un le capital acquis au 1er juillet de l'année 2020 + n.
Ainsi u = 800.
1. Calculer U₁-
2. Déterminer la nature de la suite (un) et donner l'expression de un en fonction de n pour
tout entier naturel n.
3. Résoudre l'inéquation 800 × 1,025n ≥ 1 000.
4. En déduire en quelle année le capital acquis dépassera pour la première fois 1 000 €.
Lista de comentários
Bonjour,
1) On a [tex]u_{0}=800[/tex].
Pour déterminer le terme suivant de la suite [tex](u_{n})[/tex], on réalise le calcul suivant, d'après les données de l'énoncé :
[tex]u_{1}=(1+\frac{2,5}{100})\times u_{0}=1,025u_{0}=1,025\times 800=820[/tex] (euros)
2) Il faut ici reconnaître une suite géométrique définie par récurrence telle que :
[tex]\left\{\begin{array}{rcr}u_{0} = 800 \\u_{n+1}=1,025u_{n}\end{array}\right.[/tex]
Ainsi, cette suite a pour formule explicite :
[tex]u_{n}=u_{0}\times q^{n}[/tex] avec [tex]q[/tex] la raison de la suite.
Soit : [tex]u_{n}=800\times 1,025^{n}[/tex], pour tout entier naturel [tex]n[/tex].
3) On résout l'inéquation :
[tex]800\times 1,025^{n}\geq 1 \ 000[/tex]
[tex]1,025^{n}\geq \dfrac{1 \ 000}{800}[/tex]
[tex]1,025^{n}\geq 1,25[/tex]
[tex]ln(1,025^{n})\geq ln(1,25)[/tex]
[tex]n\times ln(1,025)\geq ln(1,25)[/tex]
[tex]n\geq \dfrac{ln(1,25)}{ln(1,025)}[/tex]
[tex]n\geq 9,0368...[/tex]
4) Ainsi, cela signifie qu'à partir de la 10ème année, le capital acquis par Monsieur Économe dépassera les 1 000 euros, soit en 2030.
En espérant t'avoir aidé.