Réponse :

Partie A  à compléter

3) déterminer alors l'équation réduite de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse - 1

L'équation de la tangente est : y = f(-1) + f '(-1)(x + 1)

f '(-1) = 3/2

f (-1) = (1 - 2 - 5)/- 2 = - 6/- 2 = 3

y = 3 + 3/2(x + 1) = 3 + 3/2 x + 3/2 = 9/2 + 3/2 x

l'équation de la tangente T est : y = (3/2) x + 9/2

Partie B

f (x) = (x² + 2 x - 5)/(x-1)

f '(x) = (x² - 2 x + 3)/(x - 1)²    or (x-1)² > 0

f '(x) = 0 ⇔ x² - 2 x + 3 = 0

Δ = 4 - 12 = - 8 < 0 pas de solutions ⇒ x² - 2 x + 3 > 0 car a > 0

⇒ f '(x) > 0  ⇒ f est strictement croissante

Tableau de variation

x     - ∞                               1                         + ∞

f(x)  - ∞→→→→→→→→→→ + ∞  || - ∞→→→→→→→→  + ∞

2) a) démontrer que f(x) - (x + 3) = - 2/(x-1)

f(x) - (x+3) = (x² + 2 x - 5)/(x-1) - (x + 3)

                =  (x² + 2 x - 5)/(x-1) - (x + 3)(x-1)/(x-1)

                = (x² + 2 x - 5 - (x² + 2 x - 3))/(x-1)

                = (x² + 2 x - 5 - x² - 2 x + 3)/(x-1)

                = - 2/(x-1)

        b) en déduire les positions relatives de C par rapport à d

             f(x) - (x+3) = - 2/(x-1)

x     - ∞                   1                     + ∞

x-1               -          ||            +

quand  x < 1  ⇒ f(x) - (x+ 3) > 0 ⇒ la courbe C est au dessus de la droite d

quand x > 1 ⇒ f(x) - (x+3) < 0 ⇒ la courbe C est en dessous de la droite d  

Explications étape par étape

Partke A

1)

l'ensemble de définition est R - {1}

cela signifie que f n'est pas défini pour 1.

Etant donnée la forme,de f(x) on en déduit que le dénominateur est nul pour  x = 1.

C= -1

on dérive f(x) = (ax² + bx - 5)/(x - 1)

il suffit d'appliquer le formule

rappel :  (u/v)' = (u'v - vu')/v²

u : ax² + bx - 5       u' : 2ax + b

v : x - 1                    v' : 1

u'v - uv' : (2ax + b)(x - 1) - (ax² + bx - 5)(1) =

                ax² -2ax - b + 5

v² : (x - 1)²

f'(x) = (ax² -2ax - b + 5) / (x - 1)²

f(x) = (ax² + bx - 5)/(x - 1)

il faut trouver a et b sachant que

⋇ f(0) = 5 (ça n'apprend rien me semble-t-il)

⋇  le point A(-1 ; 3) est sur la courbe f(-1) = 3

⋇ f'(-1) = 3/2

tu écris f(-1) = 3 et f'(-1) = 3/2 tu devrais obtenir un système qui te donne a et b