Bonjour je ne comprends mon DM :
Dans un repère orthonormé, on considère la fonction f définie sur IR par f(x) = x²,
Cf sa représentation graphique et A le point de coordonnées (1;-2).
Une camarade de classe conjecture qu'il existe deux tangentes à la courbe Cf passant par A. On se propose de démontrer cette conjecture.
1. a désigne un nombre réel, écrire une équation de la tangente Ta à Cf au point d'abscisse a.
2. Pour quels nombres réels a le point A appartient-il à la tangente Ta?
3. Déterminer les équations des deux tangentes à Cf qui passent par A.
Dans un repère orthonormé, on considère la fonction f définie sur IR par f(x) = x²,
Cf sa représentation graphique et A le point de coordonnées (1;-2).
Une camarade de classe conjecture qu'il existe deux tangentes à la courbe Cf passant par A. On se propose de démontrer cette conjecture.
1. a désigne un nombre réel, écrire une équation de la tangente Ta à Cf au point d'abscisse a.
2. Pour quels nombres réels a le point A appartient-il à la tangente Ta?
3. Déterminer les équations des deux tangentes à Cf qui passent par A.
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Réponse :
Explications étape par étape :
Pour démontrer qu'il existe deux tangentes à la courbe Cf (représentant la fonction f(x) = x²) passant par le point A(1, -2), suivez les étapes suivantes :
Équation de la tangente Ta à Cf au point d'abscisse a :
L'équation générale d'une tangente à une courbe est de la forme y = mx + b, où m est la pente de la tangente et b est l'ordonnée à l'origine. Pour la tangente Ta à Cf au point d'abscisse a, la pente m sera égale à la dérivée de la fonction f(x) = x² évaluée en a, c'est-à-dire f'(a).
Donc, l'équation de la tangente Ta est : y = f'(a)(x - a) + f(a).
Pour que le point A appartienne à la tangente Ta :
Le point A(1, -2) doit vérifier l'équation de la tangente. Donc, en remplaçant x par 1 et y par -2 dans l'équation de la tangente Ta, vous obtenez :
-2 = f'(a)(1 - a) + f(a).
Détermination des équations des deux tangentes qui passent par A :
Vous avez une équation contenant deux inconnues, a et f(a), car vous ne connaissez pas encore la valeur de la pente (f'(a)) ni de la fonction (f(a)). Pour déterminer les deux tangentes, vous aurez besoin de deux valeurs différentes de a qui satisferont à l'équation.
a. Choisissez une valeur de a. Par exemple, vous pourriez choisir a = 2.
Ensuite, calculez la pente f'(2) et la valeur de la fonction f(2) à l'aide de la fonction f(x) = x² :
f'(2) = 2 * 2 = 4
f(2) = 2² = 4
Maintenant, remplacez ces valeurs dans l'équation de la tangente Ta :
-2 = 4(1 - 2) + 4
-2 = -4 + 4
-2 = 0
Cette équation ne correspond pas à une tangente passant par A, car elle n'a pas de solution. Essayez une autre valeur de a pour obtenir la deuxième tangente.
b. Choisissez une autre valeur de a. Par exemple, a = -1.
Calculez la pente f'(-1) et la valeur de la fonction f(-1) :
f'(-1) = 2 * (-1) = -2
f(-1) = (-1)² = 1
Maintenant, remplacez ces valeurs dans l'équation de la tangente Ta :
-2 = -2(1 - (-1)) + 1
-2 = -2(1 + 1) + 1
-2 = -2(2) + 1
-2 = -4 + 1
-2 = -3
Cette équation n'a pas de solution non plus. Pour obtenir une solution, il vous faudra choisir une valeur de a qui permet à l'équation d'être vérifiée. Vous pouvez essayer différentes valeurs de a jusqu'à trouver deux tangentes passant par le point A.