Réponse :

Explications étape par étape

G( 6;3;4)  et  la droite  (AG)  a pour equations  

( x=6t ;    y=3t  ;  z=4t )       ou     (  y = x/2   et    z=2x/3  )

C(6;3;0)  

soit H( a;b;c)   le projeté de M sur (BC)

comme la base BC du triangle  est fixe ; pour que l'aire soit minimale il faut et il suffit que la hauteur MH soit minimale  et pour cela que MH² soit minimale

 MH.BC = 0

MH(a-x ; b -x/2 ;  c -2x/3)  

 BC ( 0; 3 ; 0 )  

donc   3(b-x/2)=0    et   b=x/2  

de plus  H est sur  (BC)    donc   a=6   et  c=0  

H( 6 ; x/2 ; 0 )

MH( 6-x ; 0 ;   -2x/3)    et  MH² = (6-x)²  + ( -2x/3)²  

MH² =  36-12x +x² + 4x²/9   = 13x²/9   - 12x  +  36 = f(x)  

f '(x)= 26x/9   - 12     le minimum est quand  f'(x)=0    pour  x= 12*9/26

x= 54/13