Réponse :

(P):  x² - 4 x + 1

(Dm):  y = - 2 x + m      m ∈ R

1) déterminer pour quelles valeurs  de m  P et (Dm) ont deux points d'intersection  Am et Bm

on écrit ;  x² - 4 x + 1 = - 2 x + m   ⇔ x² - 2 x + 1 - m = 0

Δ = 4 - 4(1 - m) > 0   ⇔  4 m > 0 ⇔ m > 0  ⇔ m ∈ ]0 ; + ∞[  ⇒ l'équation possède deux solutions distinctes  donc  2 points d'intersection

Am(x1m ; y1m) et Bm(x2m ; y2m)

2) dans ce cas déterminer les coordonnées Am et Bm  puis celle du milieu Im du segment (AmBm)

x1 = (2 + 2√m)/2 = 1 + √m  ⇒ y1 = - 2(1+√m) + m = - 2 - 2√m + m

⇒ Am((1+√m) ; (- 2√m + m - 2))

x2 = (2 - 2√m)/2 = 1-√m  ⇒ y2 = - 2(1-√m)+m = -2+2√m + m

⇒ Bm(1-√m ; (2√m + m- 2 ))

Im  milieu du segment  (AmBm) :  

Im((1+√m) + (1-√m))/2 ; ((-2√m  + m - 2) + ((2√m + m- 2 ))/2)

Im(1 ; m - 2)

3) déterminer le lieu du point Im pour ces valeurs de m

m ∈ ]0 ; + ∞[

il faut prendre toutes les valeurs de m et voir si Im est sur la droite Dm

m = 1   ⇒ I1(1 ; - 1)    or  D1:   y = - 2 x + 1  ⇔ - 2*1 + 1 = - 1   donc I1 ∈ D1

m = 2 ⇒

......

m = 10 ⇒

je te laisse le soin de continuer

Explications étape par étape :