bonjour je reposte mon devoir en maths niveau terminale ( désolé de le remettre ms je dois le rendre.... Pergunta de ideia degustosas

December 2020 1 166 Report

bonjour
je reposte mon devoir en maths niveau terminale ( désolé de le remettre ms je dois le rendre )
j ai du mal à le faire.
est il possible de m.aider.
encore merci pour votre aide
bonne journée

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godetcyril

Réponse : Bonjour,

1) La fonction inverse est définie sur l'intervalle ]0;+∞[. On suppose que cette fonction admet des primitives sur ]0;+∞[. Le nombre 1 appartient à l'intervalle ]0;+∞[ et 0 est un réel. Alors d'après le théorème sur l'unicité d'une primitive, prenant une valeur donnée en un réel donné, il existe une unique primitive F, de la fonction inverse telle que F(1)=0.

2) F est la primitive de la fonction inverse sur ]0;+∞[.

Or la fonction inverse est positive sur ]0;+∞[, donc F est croissante sur ]0;+∞[.

3)a) On pose

$\displaystyle t=xT\\dt=x\; dT\\dT=\frac{dt}{x}$

Donc, en appliquant le changement de variables t=xT:

$\displaystyle \int_{x}^{x \times y} \frac{1}{t} dt=\int_{1}^{y} \frac{1}{xT} x dT=\int_{1}^{y} \frac{1}{T} dT$

On a:

$\displaystyle \int_{x}^{x \times y} \frac{1}{t} dt=[F(t)]_{x}^{x \times y}=F(x \times y)-F(x)\\\int_{1}^{y} \frac{1}{T}dT=[F(T)]_{1}^{y}=F(y)-F(1)$

F(1)=0, donc:

$\displaystyle \int_{1}^{y} \frac{1}{T} dt=F(y)$

On a donc que:

$F(x \times y)-F(x)=F(y)\\F(x \times y)=F(x)+F(y)$

4)a) Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, $F(X^{n})=nF(x)$ .

Initialisation: n=1, $F(x)=1 \times F(X)=F(x)$ , donc trivialement, c'est vrai à l'ordre n=1.

Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que pour n entier naturel n, $F(X^{n})=nF(x)$ , et montrons là à l'ordre n+1, c'est à dire que $F(X^{n+1})=(n+1)F(X)$ .

Par l'hypothèse de récurrence, on a que:

$F(X^{n})=nF(X)$

D'après la question précédente, pour tout nombre x et y strictement positifs:

$F(x \times y)=F(x)+F(y)$ .

On a donc:

$F(X^{n+1})=F(X^{n} \times X)=F(X^{n})+F(X)=nF(X)+F(X)=F(X)(n+1)\\F(X^{n+1})=(n+1)F(X)$

La propriété est donc vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout entier naturel n, $F(X^{n})=nF(X)$ .

b) Si n > 0, on en revient au cas de la question précédente.

On considère que n < 0, et on a:

$\displaystyle F(X^{n})=F\left(\frac{1}{X^{-n}}\right)=F\left(\left(\frac{1}{X}\right)^{-n}\right)=-nF\left(\frac{1}{X}\right)$

On a que $\displaystyle X \times \frac{1}{X}=1$ , donc :

$\displaystyle F\left(X \times \frac{1}{X}\right)=F(1)=0$

Et donc:

$\displaystyle F\left(X \times \frac{1}{X}\right)=F(X)+F\left(\frac{1}{X}\right)=0\\-F\left(\frac{1}{X}\right)=F(X)$

Et donc:

$\displaystyle F(X^{n})=-nF\left(\frac{1}{X}\right)=n\left(-F\left(\frac{1}{X}\right)\right)=nF(X)$

On a donc pour tout entier $n \in \mathbb{Z}$ :

$F(X^{n})=nF(X)$

c) Comme X > 1, alors $\lim_{n \mapsto +\infty} X^{n}=+\infty$ , alors en posant $x=X^{n}$ :

$\lim_{n \mapsto +\infty} F(X^{n})=\lim_{x \mapsto +\infty} F(x)$

A la question 4)a), on a vu, que pour tout entier naturel n, $F(X^{n})=nF(X)$ , donc:

$\lim_{n \mapsto +\infty} F(X^{n})=\lim_{x \mapsto +\infty} F(x)=\lim_{n \mapsto +\infty} nF(X)=+\infty\\car \; \lim_{n \mapsto+\infty} n=+\infty$

et F(X) est une quantité constante.

Donc:

$\lim_{x \mapsto +\infty} F(x)=+\infty$

d) Puisque n < 0, car il tend vers -∞, ici, on a:

Donc:

$\displaystyle \lim_{n \mapsto -\infty} F(X^{n})=\lim_{n \mapsto +\infty}F\left(\left(\frac{1}{X}\right)^{n}\right)$

Or comme X > 1, alors $0 < \frac{1}{X} < 1$ , donc $\lim_{n \mapsto +\infty} \left(\frac{1}{X})^{n}=0^{+}$ .

On a donc, en posant $x=\frac{1}{X}$ :

$\lim_{n \mapsto +\infty} F\left(\left(\frac{1}{X}\right)^{n}\right)=\lim_{x \mapsto 0^{+}} F(x)$ .

D'après la question 4)b), on a pour tout entier $n \in \mathbb{Z}$ , $F(X^{n})=nF(X)$ , donc:

$\lim_{n \mapsto -\infty} F(X^{n})=\lim_{x \mapsto 0^{+}} F(x)=\lim_{n \mapsto -\infty} nF(X)=-\infty\\car \; \lim_{n \mapsto -\infty} n=-\infty$

Et F(X) est une constante.

On a donc:

$\lim_{x \mapsto 0^{+}} F(x)=-\infty$

5) La fonction F est définie et continue sur ]0;+∞[, $\lim_{x \mapsto 0^{+}} F(x)=-\infty$ , $\lim_{x \mapsto +\infty} F(x)=+\infty$ , et la fonction F est strictement croissante sur ]0;+∞[, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout nombre $y \in \mathbb{R}$ , il existe un unique $x \in ]0;+\infty[$ , tel que y=F(x).

a) On définit la fonction f: y-> x. Or on a vu à la question précédente, que pour tout $y \in \mathbb{R}$ , il existe un unique $x \in ]0;+\infty[$ , tel que y=F(x).. Or par construction f(y)=x.

Donc f(y)=f(F(x))=x.

On a vu que F(1)=0, donc f(F(1))=f(0)=1, donc f(0)=1.

b) On a:

$f'(y)=(f(F(x)))'=F'(x)f'(F(x))=\frac{1}{x}f'(y)=\frac{1}{f(y)}f'(y)$

D'après la question 5)a), $f(F(x))=x$ , donc $(f(F(x)))'=(x)'=1$ .

Donc:

$\displaystyle \frac{1}{f(y)}f'(y)=1\\f'(y)=f(y)$

On a donc pour tout $y \in \mathbb{R}, f'(y)=f(y)$ .

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gustosas bonsoir je ne sais pas comment vous remerciez d avoir pris tout ce temps

gustosas je vais essayer de comprendre cet exercice pour pouvoir le refaire seul

gustosas sans prof cela devient compliqué pour apprendre

godetcyril Oui cela m'a pris un peu de temps, mais je l'ai trouvé intéressant, de démontrer l'existence de la fonction exponentielle. C'est un exercice difficile, qui demande beaucoup de réflexion. Je ne pense pas qu'il soit requis de savoir traiter l'intégralité de cet exercice au niveau terminale S. Mais essayez de le comprendre ne peut renforcer votre maitrise sur la fonction exponentielle et l'exercice sur les fonctions en général.

godetcyril *ne peut que renforcer (dans la dernière phrase)

gustosas oui je le trouve difficile aussi pourtant je me débrouille en maths ms la j etais incapable.encore merci pour votre temps passe et votre patience.

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