Réponse :

Un = n² - n

1) Utiliser une calculatrice pour obtenir

U₁₀² ; U₁₀⁴ ; U₁₀⁶ et U₁₀¹⁰

U₁₀² = (10²)² - 10² = 99 x 10²

U₁₀⁴ = (10⁴)² - 10⁴ = 9999 x 10⁴

U₁₀⁶ = (10⁶)² - 10⁶ = 999999 x 10⁶

U₁₀¹⁰ = (10¹⁰)² - 10¹⁰ = 9999999999 x 10¹⁰

2) soit f(x) = x² - x

montrer que f est croissante sur [1 ; + ∞[

calculons la dérivée de f ;  f '(x) = 2 x - 1

x ∈ [1 ; + ∞[  ⇔ x ≥ 1  ⇔ 2 x ≥ 2 ⇔ 2 x - 1 ≥ 2 - 1 ⇔ 2 x - 1 ≥ 1

Donc  2 x - 1 > 0 ⇒ f (x) > 0 et f (x) ≥ 1 ⇒ f est croissante sur [1 ; + ∞[

3) a) en utilisant les résultats des questions précédentes, déterminer un rang au-delà duquel tous les termes Un, vérifient Un ≥ 10 000

pour le terme de rang n = 101  on U101 = 101² - 101 =  10201 - 101 = 10 100 ≥ 10 000

b) déterminer un rang au-delà duquel  Un ≥ 10⁶

n² - n ≥ 10⁶ ⇔ n² - n - 10⁶  ≥ 0

Δ = 1 + 4 x 10⁶ = 4 000001 ⇒ √(4000001) = 2000

n = 1 + 2000)/2 ≈ 1001

Explications étape par étape