Bonjour, je suis bloqué sur cet exercice de mon dm. Quelqu'un pourrais me donner des pistes s'il vou.... Pergunta de ideia deFimeo

May 2019 1 111 Report

Bonjour, je suis bloqué sur cet exercice de mon dm. Quelqu'un pourrais me donner des pistes s'il vous plait ? Je sais qu'il faut faire un système à trois équations mais je ne sais pas comment faire. Merci d'avance

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Commentaires (2) Bonjour Fimeo,

1) Graphiquement, nous pouvons lire que :

f(1) = 3 car les coordonnées du point A semblent être (1 ; 3)
f(2) = 2 car les coordonnées du point B semblent être (2 ; 2)
f '(2) = 0 car la tangente à la courbe au point B est parallèle à l'axe des abscisses. Son coefficient directeur est donc égal à 0.

2) Déduire a, b et c

Il faut résoudre le système suivant :

$\left\{\begin{matrix}f(1)=3\\f(2)=2\\f'(2)=0 \end{matrix}\right.$

Or $\boxed{f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x}}\Longrightarrow\boxed{f'(x)=a-\dfrac{c}{x^2}}$

Donc

$\left\{\begin{matrix}f(1)=3\\f(2)=2\\f'(2)=0 \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{matrix}a+b+c=3\\2a+b+\dfrac{c}{2}=2\\a-\dfrac{c}{4}=0 \end{matrix}\right.\\\\\\a-\dfrac{c}{4}=0\Longleftrightarrow a=\dfrac{c}{4}\Longleftrightarrow\boxed{c=4a}$

D'où

$\left\{\begin{matrix}a+b+c=3\\2a+b+\dfrac{c}{2}=2\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{matrix}a+b+4a=3\\2a+b+2a=2\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{matrix}5a+b=3\\4a+b=2\end{matrix}\right.\\\\\\\Longleftrightarrow\left\{\begin{matrix}b=3-5a\\b=2-4a\end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow3-5a=2-4a\\\\\Longrightarrow4a-5a=2-3\\\\\Longrightarrow-a=-1\\\\\Longrightarrow\boxed{a=1}$

Par conséquent,

$b=3-5a=3-5\times1=3-5=-2\Longrightarrow\boxed{b=-2}\\\\a+b+c=3\Longrightarrow1-2+c=3\Longrightarrow\boxed{c=4}$

D'où

$a=1\ ; b=-2\ ;\ c=4\ \Longrightarrow\boxed{f(x)=x-2+\dfrac{4}{x}}$

3) L'équation réduite de la tangente (t) en A(1 ; 3) à la courbe est de la forme : $\boxed{y=f'(1)(x-1)+f(1)}$

Or

$f(x)=x-2+\dfrac{4}{x}\Longrightarrow f(1)=1-2+\dfrac{4}{1}=3\Longrightarrow\boxed{f(1)=3}\\\\f'(x)=1-\dfrac{4}{x^2}\Longrightarrow f'(1)=1-\dfrac{4}{1}=1-4=-3\Longrightarrow\boxed{f'(1)=-3}$

D'où

$(t):y=-3(x-1)+3\\\\(t):y=-3x+3+3\\\\\boxed{(t):y=-3x+6}$

Graphique en pièce jointe.

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