Réponse :

Explications étape par étape :

Exercice 2

1)

[tex]\vec{OA}(6 \ ; \ 3)\\\vec{BC}(5-(-3) \ ; \ 4-0)=(8 \ ; \ 4)\\det(\vec{OA},\vec{BC})=6*4-3*8=24-24=0[/tex]

Les vecteurs OA et BC sont colinéaires, leurs directions sont parallèles.

(OA) // (BC)

2)

[tex]\vec{BC}(8 \ ; 4)\\\vec{BD}(-1-(-3) \ ;\ 1-0)=(2 \ ; \ 1)\\det(\vec{BC},\vec{BD})=8*1-4*2=8-8=0[/tex]

Les vecteurs BC et BD sont colinéaires: les points B, C et D sont alignés.

3)

M ∈ (AB) → les vecteurs AM et AB sont colinéaires

[tex]\vec{AM}(3-6\ ; \ y-3)=(-3 \ ; y-3)\\\vec{AB}(-3-6 \ ; 0-3)=(-9 \ ;\ -3)\\det(\vec{AM},\vec{AB})=-3*(-3)-(y-3)*(-9)=0\\9+9y-27=0\\9y=18\\y=2[/tex]

4)

[tex]\vec{AM}(-3\ ; \ 2-3)=(-3 \ ; -1)\\\vec{AB}=(-9 \ ; -3)\\\frac{-3}{-9}=\frac{1}{3} \ ; \frac{-1}{-3}=\frac{1}{3} \\\vec{AM}=\frac{1}{3} \vec{AB}\\k=\frac{1}{3}[/tex]

5)

[tex]AM^2=(-3)^2+(-1)^2=9+1=10\\AC^2=(5-6)^2+(4-3)^2=(-1)^2+1^2=2\\M(3 \ ; \ 2) \rightarrow MC^2=(5-3)^2+(4-2)^2=2^2+2^2=8\\AM^2=AC^2+MC^2[/tex]

D'après la réciroque du théorème de Pythagore,

le triangle AMC est rectangle en C.

Exercice 3

1) f est une fonction affine → f(x) = ax + b

• f(-3) = 15 → -3a + b = 15
• f(2) = 6 → 2a + b = 6

En retranchant membre à membre ces 2 équations, ona :

-3a + b - 2a - b = 15 - 6

-5a  = 9

a = 9/(-5) = -1,8

2a + b = 6 → b = 6 - 2a = 6 - 2*(-1,8) = 6 +3,6 = 9,6

f(x) = -1,8 x + 9,6

f(x) ≥ 0 → -1,8x + 9,6 ≥ 0 → -1,8x ≥ -9,6 → x ≤ (-9,6)/(-1,8) → x ≤ 16/3

Tableau de signes de f

x                 -∞                      16/3                      +∞

f(x)                            +            0             -

2)

(2x - 5)(-x + 1) ≥ 0

2x - 5 ≥ 0 → x ≥ 2,5

-x + 1 ≥ 0 → -x ≥ -1 → x ≤ 1

Tableau de signes

x              -∞                   1                   2,5                    +∞

(2x - 5)                  -         |         -           0           +

(-x + 1)                  +       0        -             |            -

(2x-5)(-x+1)          -         0        +           0           -

S = [1 ; 2,5]

5x + 2 ≥ 0 → 5x ≥ -2 → x ≥ -0,4

1 - 3x ≥ 0 → -3x ≥ -1 → x ≤ 1/3

Tableau de signes

x                  -∞                   -0,4                   1/3                  +∞

5x + 2                       -           0          +            |         +

1 - 3x                        +           |          +            0         -

(5x+2)/(1-3x)             -           0          +            ||        -

S = ]-∞ ; -0,4[ ∪ ]1/3 ; +∞[