Réponse :

b) démontrer que AMN est équilatéral

comme AM = AM ⇒ AMN est isocèle donc les angles à la base sont égaux : ^AMN = ^ANM

le triangle ABC est équilatéral ⇒ ^BAC = 60°

La somme des angles du triangle AMN est : ^BAC + 2^AMN = 180°

⇔ 2ÂMN = 180 - 60 = 120° ⇒ ^AMN = 120/2 = 60°

Donc les angles du triangle AMN sont égaux à 60° ⇒ le triangle AMN est équilatéral

c) montrer que H est le milieu du segment (AM)

puisque le triangle AMN est équilatéral ⇒ NH est hauteur ; médiatrice et médiane  donc AH = HM  donc  H est le milieu de (AM)

d) démontrer que HN = √3/2  * x

MN² = HN²+HM² ⇒ HN² = MN² - HM² = x² - (x/2)² = x² - x²/4 = 4 x² - x²)/4

⇒ HN² = 3 x²/4 ⇒ HN = x√3/2

e) démontrer que pour tout x ∈ [0 ; 10]: BN² = x² - 10 x + 100

BN² = BM² + NH²

       = (10 - x/2)² + 3 x²/4 = 100 - 10 x + x²/4 + 3 x²/4 = 100-10 x + 4 x²/4

donc BN² = x² - 10 x + 100  

f) déterminer la position du point M pour que la distance BN soit minimale

on cherche la forme canonique de BN²

BN² = x² - 10 x + 25 - 25 + 100 = (x - 5)² + 75

donc la position du point M doit être : AM = x = 5 pour que BN soit minimale

Explications étape par étape