Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1)

1/φ=y/x

Mais : y/x=(x-y)/y=x/y  - y/y=φ - 1

Donc :

1/φ=φ - 1

On ramène tout à droite :

0=φ - 1 -1/φ

On réduit au même dénominateur en ramenant tout à gauche :

(φ²-φ - 1)/φ=0

Une fraction nulle <==> numérateur nul. Donc :

φ²-φ-1=0

2)

Δ=b²-4ac=(-1)²-4(1)(-1)=5

√Δ=√5

φ1=(1-√5)/2 qui < 0 et φ2=(1+√5)/52 > 0.

"x"' étant une longueur , on ne garde  que :

φ=(1+√5)/2 ≈ 1.618

3)

AFGD rectangle d'or :

On prend AB=BC=1.

Donc  : EB=1/2

Pythagore dans EBC rectangle en B :

EC²=1²+(1/2)²=4/4+1/4=5/4

EC=EF=(√5)/2

AF=AE+EF=1/2+(√5)/2

AF=(1+√5)/2

AF/AD=[(1+√5)/2] / 1=(1+√5)/2

AFGD est donc rectangle d'or.

BCF' G' rectangle d'or :

Démonstration identique avec BF '=AF =(1+√5)/2

BCFG rectangle d'or :

BF=EF-EB=(√5/2)-1/2=(√5 - 1) /2

BC=1

BC/BF=1/[(√5-1)/2]=2/(√5-1)

On va multiplier cette fraction par : (√5+1)/(√5+1) qui vaut 1 et ne change donc pas la valeur de la fraction.

BC/BF=2(√5+1)/[(√5-1)(√5+1)]

Au dé"nominateur on reconnaît : (a-b)(a+b)=a²-b² . Donc :

BC/BF=2(√5+1)/[(√5)²-1²]=2(√5+1)/(5-1)

BC/BF=2(√5+1)/4 ==>on simplifie par 2.

BC/BF=(1+√5)/2