Réponse :

Ex1:

a) Etude des variations :

on calcul la dérivé de la fct N(t)

N(t) = No exp(-0,121 t)

N'(t) = -0,121 No  exp (-0,121 t )

Puisque la fonction exponentielle est tjs positive et que d'évidence -0,121 No est négatif, la dérivée  est donc tjs négative.

La fonction N est donc strictement décroissante sur ]0 ; +inf [

b) voir pièce jointe

c) si la quantité est  la moitié de celle de départ , on a   N(t) = 1/2 No

donc tu résous :  No  exp ( -0,121 t ) = 1/2 No

donc tu obtiens :  exp (-0,121 t ) = 1/2

donc    -0,121 t = ln(1/2) =  -0,69

donc  t =  0,69/0,121 = 5,7  milliers d'années  = 6  environ

Ex 2 :

f(t) = exp( -0,1 t )  (2t + 1)

f'(t) =  u' v + u v'    avec   u(t) = exp(-0,1 t )    et   v(t) = 2t + 1

                                donc  u'(t) = -0,1 exp( -0,1 t )    et  v'(t) = 2

tu obtiens :  f'(t) = -0,1 exp( -0,1 t )  (2t+1)   +   2 exp(-0,1 t )

    tu factorises par exp(-0,1 t )  :

tu obtiens :  f'(t) = exp(-0,1 t )  [ -0,1 (2t+1) + 2 ]

                         = exp(-0,1 t )  [ -0,2 t + 1,9 ]   CQFD

b) Variations de f ?

Tu dois étudier le signe de f'(t)    ---->  puisque exp(-0,1 t )  > 0   le signe de f' sera celui de l'expression : -0,2 t + 1,9

donc tu as :    -0,2 t + 1,9  >  0     si     t < 1,9/0,2 = 9,5

                      -0,2 t + 1,9 <  0    si  t > 9,5

f est donc croissante  puis décroissante

c) le principe actif est au max à t = 9,5  min

d)  /

Explications étape par étape :