Explications étape par étape:

Bonsoir,

1- Ici il te faut vérifier 2 conditions au préalable : Aléatoire, et Indépendance.

Les prélèvements sont effectués au hasard, il y a donc experience aléatoire.

En outre, puisqu'il s'agit d'un tirage effectué avec remise, chaque prélèvement n'influe en aucun cas le suivant, ce qui caractérise l'indépendance. (on peut le remarquer, l'énoncé le confirme en précisant qu'à chaque fois, les sachets ont la même probabilité d'être choisis)

De surcroît, le sachet est conforme OU défectueux, 2 issues possibles, réussite ou échec, conformité ou non, ce qui conclut la résolution de cette question.

2- Je te laisse représenter l'arbre en question. Sur les 2 premières branches, tu auras, en succès, la probabilité p = 0,95, et l'échec q = 1-p = 0,05.

Ces 2 branches seront divisées en 2 branches chacune, soit un total de 4 branches. Sur les 2 branches du haut, même chose qu'avant. Sur les 2 branches du bas aussi.

Pour les 3 prélèvements, tu auras au final 8 issues possibles, et, étant donné l'indépendance des événements avec remise, tu auras toujours "succès" sur la branche du haut, et échec sur la branche du bas.

3- Soit X, la variable aléatoire correspondant au nombre de sachets défectueux.

Considérons les 2 évènements C et D de l'énoncé. Avec C en succès, et D en échec. 8 issues possibles. Pour avoir exactement 2 sachets défectueux, on aura :

CDD, DCD, DDC, soit 3 issues sur 8.

Ensuite, soit tu utilises le cours sur Bernouilli avec les P(X = k), soit tu comptes manuellement (ce que je te conseille, puisqu'il y a seulement 8 issues).

Soit p, la probabilité de succès (p = 0,95) et q, la probabilité de l'échec.

Avec CDD, DCD et DDC, ça nous donne p*q^2 en 3 fois.

Ainsi, la probabilité de recherchée vaut P(X = 2) = 3*p*q^2 = 3*0,95*0,05*0,05 (je te laisse finir le calcul).

4- Ici, probabilité du cours, au moins 1 sachet défectueux signifie que P(X = 1) = 1 - P(X = 0). Or P(X = 0) équivaut à l'issue CCC, soit 0,95, en 3 fois.

Conclusion : P(X = 1) = 1 - 0,95^3.