Réponse

Bonjour

Explications étape par étape :

1)

vect HA(2-x;5-y)

HB(-2-x;1-y)

On sait que si 2 vecteurs u(x;y) et v(x';y') sont colinéaires alors :

xy'-x'y=0

On applique aux vect HA et HB :

(2-x)(1-y)-(-2-x)(5-y)=0

(2-x)(1-y)+(2+x)(5-y)=0

Je te laisse développer et trouver ensuite :

-4y+4x+12=0

-y+x+3=0

y=x+3

2)

a)

vect HA(2-x;5-y) donc :

Mesure AH=√[(2-x)²+(5-y)²]

b)

Donc :

AH²=(2-x)²+(5-y)² mais y=x+3 donc :

AH²=(2-x²)+(5-x-3)²=(2-x)²+(2-x)²=4-4x+x²+4-4x+x²

AH²=2x²-8x+8

c)

vect HC(6-x;-1-y)

HC²=(6-x)²+(-1-y)²=(6-x)²+(1+y)² mais y=x+3 donc :

HC²=(6-x)²+(x+4)²=36-12x+x²+x²+8x+16

HC²=2x²-4x+52

d)

vect AC(6-2;-1-5)

vect AC(4;-6)

AC²=4²+(-6)²=52

Le triangle AHC est rectangle en C donc d'après Pythagore :

AC²=AH²+HC² , ce qui donne :

52=2x²-8x+8+2x²-4x+52 soit :

4x²-12x+8=0

3)

D'après le logiciel :

4x²-8x+8=0 s'écrit aussi :

4(x-2)(x-1)=0 dont les solutions sont :

x-2=0 OU x-1=0

x=2 OU x=1

On ne peut pas garder x=2 qui placerait le point H en A.

Donc xH=1 et yH=1+3=4

Donc : H(1;4)

4)

HC²=2x²-4x+52 donc :

HC²=2(1)²-4(1)+52=50

Mesure HC=√50=√(25 x 2)=5√2

vect AB(-2-2;1-5) ==>AB(-4;-4)

AB²=(-4)²+(-4)²=32

Mesure AB=√32=√(16 x 2)=4√2

Aire ABC=(5√2 x 4√2) / 2=(20 x 2) /2=20 qui est une mesure entière.