1) la longueur de OM varie de 0 à 6

Dans ce premier tableau on fait les calculs avec des valeurs entières de OM

longueur OM       0     1      2     3      4     5      6

longueur ON       6     5      4     3      2     1       0    

aire OMN             0    2,5   4    4,5    4    2,5     0

(pour calculer l'aire on multiplie OM par ON et on divise par 2)

dans la ligne du bas aucun nombre n'est égal à 3.

On n'a pas trouvé de solution.

Dans cette ligne du bas on remarque que l'aire augmente de 0 à 4,5 puis diminue de 4,5 à 0.

elle vaut 3 ( 2,5 < 3 < 4) lorsque OM est compris entre 1 et 2

elle vaut encore 3 (4 > 3 > 2,5) lorsque OM est compris entre 4 et 5

2)

Dans le deuxième tableau on fait les calculs avec des valeurs de OM allant de dixième en dixième

Dans la cellule B apparaissent les valeurs de la longueur ON.

Dans ce second tableau on a des valeurs plus précises :

on voit que l'aire (3 dm²) est comprise entre 2,88 et 3,055 pour  1,2< OM < 1,3

puis qu'elle est comprise entre 3,055 et 2,88 pour 4,7 < OM <4,8

remarque : dans la première question la réponse est

1 < OM < 2    et     4 < OM < 5

dans la deuxième

1,2 < OM < 1,3   et   4,7 < OM < 4, 8

(la réponse est plus précise)

3)

Soit x la distance OM  (x varie de 0 à 6)

la distance ON est égale à 6 - x

l'aire A(x) du triangle OMN est  1/2 [x(6 - x)]

A(x) = (-1/2)x² + 3x

pour la construire on place des points. On peut se servir du premier tableau pour lire les coordonnées de quelques points.

Les voici (on s'aperçoit qu'il y a symétrie par rapport à la verticale du sommet)

(0 ; 0)   (1 ; 2,5)    (2 ; 4)  (3 ; 4,5) MAX    (4 ; 4)    (5 ; 2,5)   (6 ; 0)

Pour faire apparaître la solution du problème on trace la droite d'équation y = 3 elle coupe la courbe en deux points M et N.

on trace la verticale de chacun d'eux pour mettre leurs abscisses en évidences

la première est voisine de 1,3 et la deuxième de 4,8