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Bonjour,

1)

D ∈ (AB) ⇒ il existe a ∈R / AD = aAB  (autrement dit AD et AB sont colinéaires)

de même E ∈ (AC) ⇒ il existe b ∈ R/ AE = bAC

2) Dans le repère (A, AB, AC) :

A(0;0), B(1;0) et C(0;1)

⇒ AB(1;0) et AC(0;1)

⇒ AD(a;0) et AE(0;b)

⇒

3) BC(-1;1) vecteur directeur de (BC) ⇒ (BC) :

4) pour tout point M(x;y) ∈ (DE), DM = kDE avec k ∈ R

DM(x - a ; y) et (DE)(-a ; b)

⇒ x - a = -ka                                        ⇒ x - a = -ya/b    ⇔

et y = kb        ⇒ k = y/b (b≠0 car E≠A)

5) F = (d)∩(DC) = (DE)∩(DC)

F(xF;yF) ∈ (DE) ⇒ bxF + ayF - ab = 0

F(xF;yF) ∈ (DC) ⇒ xF + yF - 1 = 0        ⇔ yF = 1 - xF

⇒ bxF + a(1 - xF) - ab = 0 ⇔ xF(b - a) = ab - a ⇒ xF = a(b - 1)/(b - a)

et donc yF = 1 - xF = 1 - a(b - 1)/(b - a) = [(b - a) - a(b - 1)]/(b - a) = b(1 - a)/(b - a)

⇒

6)

M₁ milieu de [CD] avec C(0 ; 1) et D(a ; 0) ⇒ M₁(a/2 ; 1/2)

M₂ milieu de [AF] avec A(0 ; 0) et F ci-dessus... ⇒ M₂( a(b - 1)/2(b - a) ; b(1 - a)/2(b - a) )

M₃ milieu de [BE] avec B(1 ; 0) et E(0 ; b) ⇒ M₃(1/2 ; b/2)

On en déduit :

M₁M₃( (1 - a)/2 ; (b - 1)/2 )

M₁M₂( a(b - 1)//2(b - a) - a/2 ; b(1 - a)/2(b - a) - 1/2 )  (je développe ces coordonnées ci-dessous)

soit :  [ a(b - 1) - a(b - a) ]/2(b - a) = (ab - a - ab + a²)/2(b - a) = a(a - 1)/2(b - a)

et   :  [ b(1 - a) - (b - a) ]/2(b - a) = (b - ab - b + a)/2(b - a) = a(1 - b)/2(b - a)

on constate :

⇒ M₁M₂ et M₁M₃ colinéaires

⇒ M₁, M₂ et M₃ alignés