Réponse :

Explications étape par étape :

uₙ₊₂ = uₙ₊₁ ₊₁ = {2uₙ₊₁ -7)/{uₙ₊₁-3) = {2{2uₙ-7)/{uₙ-3)-7)/{{2uₙ-7){uₙ-3)-3)

= {{4uₙ-14 -7uₙ+21)/{uₙ-3))/{{2uₙ-7-3uₙ+9)/{uₙ-3))

= {-3uₙ+7)/{-uₙ+2) = {3uₙ-7)/{uₙ-2)

uₙ₊₃ = uₙ₊₂ ₊₁ =  {2uₙ₊₂ -7)/{uₙ₊₂-3)

=  {2{3uₙ-7)/{uₙ-2) -7)/ {{3uₙ-7)/{uₙ-2)-3)

= {6uₙ-14-7uₙ+14)/{3uₙ-7-3uₙ+6) = -uₙ/-1 = uₙ

donc cette suite est une suite périodique où  tous les 3 indices, on trovue les même valeurs:

u₀, u₁, u₂, u₀, u₁, u₂,.................,u₀, u₁, u₂,.........

avec u₀=4, u₁={8-7)/{4-3)=1, u₂={2-7)/{1-3)= 5/2

c.a.d. cette suite: 4,1,5/2,4,1,5/2,...,4,1,5/2,...

2021 = 2 + 2019 = 2 + 3*673, donc u₂₀₂₁ = u₂ = 5/2 puisque de 3 en 3,

on va retomber sur u₂...........

1729 = 1 + 1728 = 1 + 3*576, donc u₁₇₂₉ = u₁ = 1 puisque de 3 en 3,

on va retomber sur u₁............