Réponse :

Explications étape par étape :

Pour résoudre ce problème, nous allons déterminer une expression pour l'aire de la partie coloriée en fonction de la position du point M sur le segment [AB], puis maximiser cette expression. Voici comment procéder :

1. Soit \( x \) la longueur du segment [AM]. La longueur du segment [MB] sera \( 10 - x \).

2. Les demi-cercles ont des rayons égaux à la moitié de leur diamètre. Ainsi, le rayon du demi-cercle de diamètre [AB] est \( \frac{10}{2} = 5 \) cm, et les rayons des demi-cercles de diamètre [AM] et [MB] sont \( \frac{x}{2} \) et \( \frac{10-x}{2} \) respectivement.

3. L'aire du demi-cercle est donnée par la formule \( A = \frac{\pi r^2}{2} \), où \( r \) est le rayon du demi-cercle.

4. L'aire de la partie coloriée est la différence entre l'aire du demi-cercle de diamètre [AB] et la somme des aires des demi-cercles de diamètre [AM] et [MB].

L'expression de l'aire de la partie coloriée (\( A_c \)) en fonction de \( x \) est donc :

\[ A_c(x) = \frac{\pi \cdot 5^2}{2} - \left(\frac{\pi \cdot (\frac{x}{2})^2}{2} + \frac{\pi \cdot (\frac{10-x}{2})^2}{2}\right) \]

Simplifions cette expression :

\[ A_c(x) = \frac{25\pi}{2} - \frac{\pi x^2}{8} - \frac{\pi (10-x)^2}{8} \]

5. Pour maximiser cette fonction, vous pouvez dériver \( A_c(x) \) par rapport à \( x \), égaler à zéro et résoudre pour \( x \). La dérivée de \( A_c(x) \) est :

\[ A'_c(x) = -\frac{\pi x}{4} + \frac{\pi (10-x)}{4} \]

Égalons cela à zéro et résolvons pour \( x \) :

\[ -\frac{\pi x}{4} + \frac{\pi (10-x)}{4} = 0 \]

\[ -\pi x + \pi (10-x) = 0 \]

\[ -\pi x + 10\pi - \pi x = 0 \]

\[ -2\pi x + 10\pi = 0 \]

\[ x = \frac{10}{2} \]

Donc, la position du point \( M \) sur le segment [AB] pour maximiser l'aire de la partie coloriée est \( x = 5 \) cm, soit à mi-chemin entre \( A \) et \( B \).