Réponse :

1) montrer que (MN) ⊥ (RS)

soit le triangle MSR ; on a (SC) passant par N est ⊥ (MR) donc (SC) est une hauteur

on a aussi (RN) passant par N est ⊥ (SM) donc (RN) est une hauteur

on a (MU) passant N coupe le côté du triangle en U

Donc d'après la propriété sur les droites concourantes  si deux droites sont concourantes au même point et sont perpendiculaires aux côtés triangle et si la troisième droite est aussi concourante aux deux autres droites alors la troisième est perpendiculaire au côté qui l'oppose  et elle est alors appelée hauteur.

Donc (MN) est perpendiculaire à (RS)

2) calculer la distance MP

le triangle MPQ est rectangle en Q  donc d'après le th.Pythagore

 MP² = PQ²+ MQ² = 6² + 1.5² = 36+2.25 = 38.25 ⇒ MP = √(38.25) ≈ 6.18 cm

3) montrer que CS = 18 cm

(PB) // (MC)  donc d'après le th.Thalès : PB/MC = SB/SC

⇔ 3/4.5 = SB/(SB + 6) ⇔ 4.5 x SB = 3(SB + 6) ⇔4.5 x SB = 3SB + 18

⇔ 1.5 x SB = 18 ⇒ SB = 18/1.5 = 12 cm

donc SC = SB + BC = 12 + 6 = 18 cm

4) montrer que les angles ^CMN et ^NSU sont égaux

^CMU = 90° - ^CNM

^NSU = 90° - ^SNU

or  ^CNM = ^SNU  ce sont des angles opposés par le sommet N

Donc  ^CMN = ^NSU

5) calculer tan (^CSR) puis calculer la distance CR

puisque ^CMN = ^NSU  donc ^NSU = ^CSR

tan (^CSR) = tan (^CMN) = CN/CM = 2/4.5 = 0.44...44

CR/SC = 2/4.5 ⇔ 2 x CS = 4.5 x CR ⇔ 2 x 18 = 4.5 x CR

⇔ CR = 36/4.5 =  8 cm

Explications étape par étape