Réponse :

1) démontrer que, pour tout réel x la longueur du trajet total est :

         6 + √((x-2)²+ 16) + √((x-8)²+16)

Lt = DT + TM + DM

DT = √((2 - 8)² = √(-6)² = 6

TM = √((x - 2)²+4²) = √((x - 2)²+16)

DM = √((x - 8)² + 4²) = √((x-8)²+16)

on obtient   6 + √((x-2)²+ 16) + √((x-8)²+16)

2)  f(x) =  6 + √((x-2)²+ 16) + √((x-8)²+16)

   a) conjecturer la longueur du trajet minimum

pour x = 0  ⇒ f(0) = 6 + √20 + √80

pour x = 4 ⇒ f(4) = 6 + √20 + √32

pour x = 5 ⇒ f(5) = 6 + √25 + √25 = 6 + 10 = 16

pour x = 6 ⇒ f(6) = 6 + √32 + √20 = 16.126

pour x = 7 ⇒ f(7) = 6 + √41 + √17 = 16.52

le trajet minimum est de 16 km

3) quelle est la valeur de l'abscisse en laquelle le minimum est atteint

    c'est  x = 5

4) quelle est la nature du triangle DTM

DT² = 36

DM² = (5 - 8)²+4² = 9 + 16 = 25

TM² = (5-2)² + 4² = 9+16 = 25

on a DM = TM  donc le triangle DTM est isocèle en M  

Explications étape par étape