Bonjour,
Je suis en seconde et je bloque complètement sur ce devoir, étant donné que nous n'avons jamais étudié ces notions auparavant. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Dans un repère orthonormé (O : I,J), on considère les points A (-2 ; -1), B (-4 ; 3) et C(2 ; 6).
1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
2. On appelle D le symétrique du point B par rapport au milieu du segment [AC]. Démontrer que ABCD est un rectangle.
3. Calculer l'aire du triangle ABC.
4. La droite perpendiculaire à (AC) passant par le point B coupe (AC) en H. À l'aide de l'aire du triangle ABC, en déduire la longueur BH.
5. Calculer alors la longueur CH.
Je suis en seconde et je bloque complètement sur ce devoir, étant donné que nous n'avons jamais étudié ces notions auparavant. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Dans un repère orthonormé (O : I,J), on considère les points A (-2 ; -1), B (-4 ; 3) et C(2 ; 6).
1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
2. On appelle D le symétrique du point B par rapport au milieu du segment [AC]. Démontrer que ABCD est un rectangle.
3. Calculer l'aire du triangle ABC.
4. La droite perpendiculaire à (AC) passant par le point B coupe (AC) en H. À l'aide de l'aire du triangle ABC, en déduire la longueur BH.
5. Calculer alors la longueur CH.
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Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1)
Programme de 3ème. OK?
Calculons :
D'une part :
AC²=(xC-xA)²+(yC-yA)²=(2-(-2))²+(6-(-1))²=4²+7²=65
D'utre part :
AB²+BC²=[(-4-(-2))²+(3-(-1)²]+[(2-(-4))²+(6-3)²]=(2²+4²)+(6²+3²)=65
<donc :
AC²=AB²+BC²
D'après le th. de Pythagore , le triangle ABC est rectangle en B.
2)
[AC] et [BD] se coupent en leur milieu par construction.
Si un quad a ses diagos qui se coupent en leur milieu , alors c'est un parallélo.
Donc ABCD est un parallélo.
Angle ABC est droit.
Si un parallélo a un angle droit, alors c'est un rectangle.
Donc ABCD est un rectangle.
3)
D'après 1) AB²=2²+4²=20 donc AB=√20=√(4 x 5)=2√5
et BC²=6²+3²=45 donc BC=√45=√(9 x 5 )=3√5
Aire ABC=AB x BC/2=2√5 x 3√5 / 2=3 x 5=15
4)
Aire ABC=AC x BH/2 qui donne:
BH=Aire ABC x 2 / AC
Mais aire ABC=15 et AC=√65
Donc :
BH=15 x 2 / √65
BH=30/√65 ( ≈ 3.7)
5)
Le triangle BHC est rectangle en H donc :
BC²=BH²+HC²
45=(30/√65)²+HC²
HC²=45-(30/√65)²
HC²=45-(900/65)
On réduit au même dénominateur :
HC²=(45 x 65 - 900 ) /65
HC²=2025/65
HC=√(2025/65)
HC=45/√65 (≈ 5.6)