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Bonjour,

1) a) Voir la pièce jointe.

b) On constate que pour [tex]x=6 \ cm[/tex], l'aire du rectangle [tex]BEFG[/tex] est le double du carré [tex]ABCD[/tex].

2) a)

L'aire du carré [tex]ABCD[/tex] correspond au produit des longueurs de son côté, soit :

→ [tex]f(x)=BC\times BA=x\times x=x^{2}[/tex].

L'aire du rectangle [tex]BEFG[/tex] correspond au produit des longueurs de sa largeur avec sa longueur, soit :

→ [tex]g(x)=BE\times BG=(BC+CE)(BA+AG)=(x+3)(x+2)[/tex]

b) Résoudre [tex]g(x)=2f(x)[/tex] revient à résoudre :

[tex]2x^{2}=(x+3)(x+2)\\\\2x^{2} =x^{2} +2x+3x+6\\2x^{2} =x^{2} +5x+6\\x^{2} -5x-6=0\\-x^{2} +5x+6=0[/tex]

c) On a :

[tex]-x^{2} +5x+6\\\\=-(x-\dfrac{5}{2} )^{2}+(\dfrac{5}{2} )^{2}+6\\\\=-(x-\dfrac{5}{2} )^{2}+\dfrac{25}{4}+\dfrac{24}{4} \\\\-(x-\dfrac{5}{2} )^{2}+\dfrac{49}{4}[/tex]

PS : Il est possible de démontrer ceci dans l'autre sens en développant...

d) Résoudre [tex]-x^{2} +5x+6=0[/tex] revient donc à résoudre :

[tex]-(x-\dfrac{5}{2} )^{2}+\dfrac{49}{4}=0\\\\-(x-\dfrac{5}{2} )^{2}=-\dfrac{49}{4}\\\\(x-\dfrac{5}{2} )^{2}=\dfrac{49}{4}\\\\x-\dfrac{5}{2} =\sqrt{\dfrac{49}{4} } \ ou \ x-\dfrac{5}{2} =-\sqrt{\dfrac{49}{4} } \\\\x-\dfrac{5}{2} =\dfrac{7}{2} \ ou \ x-\dfrac{5}{2} =-\dfrac{7}{2}\\\\x=6 \ ou \ x=-1[/tex]

Or, on a [tex]x > 0[/tex] : on exclut alors [tex]x=1[/tex] dans le contexte de l'exercice.

On retrouve bien la valeur trouvée à la question 1.

3) Il s'agit uniquement d'une résolution plus rigoureuse mais celle-ci ne nous donne pas plus d'informations.

En espérant t'avoir aidé.