Bonjour,

1) Par définition, un nombre rationnel peut s'écrire sous la forme avec a et b entiers (b non nul). On peut de plus supposer que a et b n'ont aucun diviseur en commun autre que 1 (on dit qu'ils sont premiers entre eux), ce qui revient à choisir a et b de manière à ce que la fraction soit irréductible.

Ici, on suppose par l'absurde que est rationnel. Il existe donc deux entiers a et b (b non nul) n'ayant pas de diviseur en commun autre que 1 tels que :

.

2) On élève au carré l'égalité précédente :

.

3) Le terme en est pair, puisque c'est un multiple de 2 (il s'écrit 2 fois un entier).

Comme ce terme vaut par la question précédente, est pair, ce qui implique a est pair.

(L'implication est immédiate avec un tableau de congruences; si tu ne les as pas vu, on peut raisonner par contraposition, en montrant que, si un entier est impair, son carré l'est également.

Soit donc un entier c impair. Il s'écrit avec k entier.

Alors : qui est bien impair car est pair (c'est un multiple de 2).)

4) Puisque a est pair, il peut s'écrire avec k entier.

En remplaçant dans l'égalité, il vient :

Comme précédemment, est pair, donc est pair, donc b est pair.

5) Ainsi, a et b sont tous deux pairs, donc sont tous deux divisibles par 2.

Or, par 1), leur seul diviseur commun est 1. C'est absurde.

Ainsi, n'est pas rationnel, càd