Bonjour,
Je suis en terminal S, j'ai besoin d'aide pour l'exercice qui est en pièce jointe.
Merci pour ceux qui pourront m'aider.
Je suis en terminal S, j'ai besoin d'aide pour l'exercice qui est en pièce jointe.
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Bonjour,Partie A
1) lim quand x → 0 ln(1 - x)/x
en posant X = -x, soit x = -X :
= lim quand X → 0 -ln(1 + X)/X
= lim quand X → 0 -[ln(1 + X) - ln(1)]/X (car ln(1) = 0)
On retrouve ainsi la forme [f(1) - f(1+h)]h, qui est le taux d'accroissement de la fonction f(x) = ln(x) en x = 1)
Donc, par définition du nombre dérivé :
= -f'(1)
= -1
2) lim quand x → 0⁺ xln(x)
en posant X = 1/x soit x = 1/X :
= lim quand X → +∞ ln(1/X)/X
= ................................ -ln(X)/X (car ln(1/X) = -ln(X)
= 0 car lim ln(x)/x quand x → +∞ = 0 (théorème croissances comparées)
3) f(0) = 0 et quand x ∈ ]0;1[, lim quand x → 0⁺ f(x) = 0
Donc f est continue en 0
4) Pour x ∈ ]0;1[, f'(x) = 1/x * ln(1 - x) - ln(x) * (-1/(1 - x))
= ln(1 - x)/x + ln(x)/(1 - x)
lim f'(x) quand x → 0⁺
= lim ln(1 - x)/x + lim ln(x)/(1 - x)
= -1 + lim ln(x)/1
= -∞
donc f n'est pas dérivable en 0.
Partie B
En posant t = 1 - x, soit x = 1 - t
f(1 - t) = ln(1 - t) * ln(t)
lim quand x → 1⁻ f'(x)
= lim quand t → 0⁺ f(t)
= -∞ d'après la partie A 4)
Donc f n'est pas dérivable en 1