bonjour je suis en terminal S, pourriez vous m'aider à réaliser cet exercice car je n'arrive pas à l.... Pergunta de ideia deirumiuchiwa

December 2020 1 9 Report

bonjour je suis en terminal S, pourriez vous m'aider à réaliser cet exercice car je n'arrive pas à le faire voici l'énoncé en pièce jointe:

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Tenurf

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Explications étape par étape

Bonjour,

je note l'angle $\alpha$

Nous savons que AB = 4 et cos( $\alpha$ ) = AB/AD

sur cet intervalle [0; $\pi$ /2[ le cosinus ne s'annule pas

Donc

AD = AB / cos( $\alpha$ )

AD = 4 / cos( $\alpha$ )

Or sin( $\alpha$ ) = BD/AD

donc sin( $\alpha$ ) = BD * cos( $\alpha$ )

donc BD = 4 sin( $\alpha$ )/cos( $\alpha$ )

BD = 4 tan( $\alpha$ )

CD = CB + BD = 7 + 4 tan( $\alpha$ )

vitesse = distance / temps

donc temps = distance / vitesse

= 4 / ( 30 000 * cos( $\alpha$ ))

= ( 7 + 4 tan( $\alpha$ ) ) / 60 000

Le chien aura traversé la route avant le passage du camion si $t_2 - t_1 > 0$

or $t_2 - t_1 = ( 7/2 + 2 tan(\alpha) - 4 / cos(\alpha) ) * 1/ 30 000$

donc cela revient à étudier le signe de f( $\alpha$ ) pour $\alpha$ compris entre 0 et $\pi$ /2

$tan(\alpha ) = \frac{sin(\alpha )}{cos(\alpha )}$

c'est donc de la forme u/v , la dérivée est u'v-uv'/ v^2

cette fonction est dérivable sur [0; $\pi$ /2[ et sa dérivee vaut

$cos(\alpha )cos(\alpha )-sin(\alpha )*(-sin(\alpha )) / cos^2(\alpha )\\= (cos^2(\alpha ) + sin^2(\alpha )) / cos^2(\alpha )\\\ or \ cos^2(\alpha ) + sin^2(\alpha) = 1$

donc la dérivée de tan est la fonction qui a x associe $1/cos^2(\alpha )$

f est dérivable sur [0; $\pi$ /2[ et sa dérivee vaut

f'( $\alpha$ ) = 2/cos^2( $\alpha$ ) - 4sin( $\alpha$ )/cos^2( $\alpha$ )

f'( $\alpha$ ) = (2 - 4 sin( $\alpha$ )) / $cos^2(\alpha )$

f'( $\alpha$ ) = 2(1 - 2 sin( $\alpha$ )) / $cos^2(\alpha )$

sin() est croissante sur [0; /2[

et sin( $\alpha$ ) = 1/2 pour $\alpha$ = /4

donc f'( $\alpha$ ) est positive sur [0; $\pi$ /4]

nulle en $\pi$ /4 et

négative sur [ $\pi$ /4; $\pi$ /2[

Donc f est croissante sur [0; $\pi$ /4] puis décroissante sur [ $\pi$ /4; $\pi$ /2[

$f(\frac{\pi}{4}) = 7/2+2-8 = (7-6*2)/2 = -5/2$

donc f est négative sur [0; $\pi$ /2[

donc on peut en conclure "et Paf le chien !"

le chien n'aura pas traversé la route avant le passage du camion...

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