Réponse :

Explications étape par étape :

Bonsoir, il s'agit effectivement d'un exercice classique, suite définie par récurrence, ce type de problème reviendra régulièrement.

Cependant, ton exercice est légèrement pernicieux, notamment au niveau du tableau. La 3e colonne, C, correspond à et non , un piège qui paralyse immédiatement. En calculant successivement les termes, cette différence est vite perceptible.

Calculons méthodiquement les termes :

Ensuite, ajoutons +1 à chacun de ces termes (on obtiendra la colonne C ) :

Une logique se dégage de ces calculs, on s'aperçoit aisément, les puissances de 5 qui s'enchaînent. Pour , l'exposant vaut 1, pour , l'exposant vaut 2, pour , l'exposant vaut 3...

Par conséquent, il est raisonnable de conjecturer, pour un entier n, un exposant n du côté droit. Autrement dit :

On passe le chiffre 1 du côté droit, pour obtenir la conjecture finale :

2- Démonstration imparable, qui reviendra quasiment systématiquement, un raisonnement par récurrence. Le principe n'est pas difficile, visuellement, tu peux imaginer une suite de dominos, tous alignés, debout sur leurs tranches.

On pousse le 1er domino (ce qu'on appelle initialisation), les autres doivent tomber en cascade (qu'on nomme hérédité), sans s'arrêter.

Procédons ainsi, et vérifions, que la conjecture est valable pour n = 0 (on initialise) :

d'après l'énoncé, et, en remplaçant n par 0 dans notre conjecture :

.

La conjecture est donc vérifiée au rang n = 0.

A présent, partie plus difficile, l'hérédité. On va supposer que la conjecture est vraie, pour un entier naturel n, supérieur ou égal à 0, cette supposition, sera notre "hypothèse de récurrence". Et, on devra prouver, que notre hypothèse reste valable, au rang n+1.

Visuellement, la conjecture est totalement vraie, sous 2 conditions :

---> On peut pousser le 1er "domino", il tombe, la propriété s'applique.

---> Tous les "dominos" sont parfaitement alignés, si j'en pousse un, le suivant doit tomber, etc.

La fameuse "hypothèse de récurrence", représente l'alignement des dominos. Tu supposes qu'ils le sont, puis tu tentes de tout faire tomber (hérédité !). Si ça tombe sans souci, la propriété est vraie. Sinon, elle est fausse (peut-être que le visuel t'aidera, en tout cas, je le perçois ainsi).

Supposons donc, par hypothèse de récurrence, que pour n supérieur ou égal à 0, que : prouvons alors, que cette conjecture est vraie, au rang suivant, soit n+1. Autrement dit, que : (on remplace évidemment n, par n+1).

Par définition de l'énoncé :

, on injecte notre petite hypothèse de récurrence :

Conclusion : Notre conjecture est, finalement, vraie. On retombe sur l'expression initiale, on fait tomber au rang n, ça tombe au rang n+1, conformément à l'énoncé.

Bonne soirée