bonjour

exercice 42

initialisation
pour n=0

To = 0/(0+1) = 0/1 = 0

donc la propriété est vraie au rang 0  c'est à dire pour n = 0

( car l'énoncé donne To = 0)

hérédité

soit k un entier naturel

supposons que k /(k+1) soit vrai
        (hypothèse de récurrence)

il faut montrer que la propriété est vraie pour l'entier suivant

c'est à dire que :

T(k+1) = (k+1) / [(k+1) +1]

soit que (k+1) /(k+2)   est vraie

démonstration  de l'hérédité

T(k+1) = Tk   +   1/(k+1)(k+2)

= k /(k+1)   +   1/(k+1)(k+2)

on met au m^me dénominateur

= [ k(k+1)(k+2) +(k+1)] / [(k+1)(k+2) (k+1) ]

= [(k³ +3k²+3k +1)]   /  [(k+1)²(k+2)]

=[(k+1)³]  /  [(k+1)²(k+2)]

on simplifie par (k+1)²

=[(k+1)]/ [(k+2)]

donc l'égalité est vérifiée au rang k+1

donc la propriété est héréditaire 

conclusion
proposition vraie pour n =0
par hérédité elle est vraie pour l'entier supérieur
elle est donc vraie pour tout nombre entier n, n≥0

exercice 44

1)

les 10 premiers termes de la suite = 2

2)

on peut conjecturer que tous les termes de Un sont  égaux à 2

pour tout n €N ,  Un = 2

3)

initialisation
pour n=0

U(0+1) =U1= ¾ × 2 +1/2 = 2

donc la propriété est vraie au rang 0 c'est à dire pour n = 0

U1 = 2

hérédité

soit k un entier naturel

supposons que u(k+1) =¾ × uk +1/2 = 2 VRAIE
        (hypothèse de récurrence)

il faut montrer que la propriété est vraie pour l'entier suivant

c'est à dire que :

U(k+2) = ¾ × u (k +1) +1/2

est vraie

démonstration  de l'hérédité

U(k+2) = ¾ × (¾ × uk +1/2) +1/2

= ¾ × (2) +1/2

=2

donc l'égalité est vérifiée au rang k+1

donc la propriété est héréditaire

conclusion
proposition vraie pour n =0
par hérédité elle est vraie pour l'entier supérieur
elle est donc vraie pour tout nombre entier n, n≥0