Réponse :

 f(x) = (x² + x - 1)/(x²+ x + 1)  définie sur R

1) prouver  que  f '(x) = 2(2 x +1)/(x²+ x + 1)²

(u/v)' = (u' v - v' u)/v²

u = x² + x - 1 ⇒ u' = 2 x + 1

v = x² + x + 1 ⇒ v' = 2 x + 1

f '(x) = (u/v)' = [(2 x +1)(x² + x + 1) - (2 x +1)(x²+ x - 1)]/(x²+ x + 1)

    = ((2 x³ + 2 x² + 2 x + x² + x + 1) - (2 x³ + 2 x² - 2 x + x² + x - 1))/(x²+x+1)²

    = ((2 x³ + 3 x² + 3 x + 1) - (2 x³ + 3 x² - x - 1))/(x²+x+1)²

    = (2 x³ + 3 x² + 3 x + 1 - 2 x³ - 3 x² + x + 1)/(x²+x+1)²

    = (4 x + 2)/(x²+x+1)²

    = 2(2 x +1)/(x²+x+1)²

2) étudier le signe de la f '(x) suivant les valeurs de x, puis dresser le tableau de variation de f

f '(x) =  2(2 x +1)/(x²+x+1)²  or (x²+ x + 1)² > 0

x        - ∞                          - 1/2                         + ∞

f '(x)                      -              0            +

f '(x) ≥ 0  sur l'intervalle ]- ∞ ; - 1/2]  ⇔ x ≤ - 1/2

f '(x) ≥ 0   sur      //          [- 1/2 ; + ∞[  ⇔  x ≥ - 1/2

Tableau de variation de f

x       - ∞                                 - 1/2                                  + ∞              

f(x)    1 →→→→→→→→→→→→→→→→ - 5/3 →→→→→→→→→→→→→→ 1

                 décroissante                    croissante  

3) déterminer l'intersection de la courbe Cf avec l'axe des abscisses

f (x) = (x² + x - 1)/(x² + x + 1) = 0 ⇔ x² + x - 1 = 0

Δ = 1 + 4 = 5 ⇒ √5

x1 = (- 1 + √5)/2

x2 = (- 1 - √5)/2

4) déterminer l'équation de la tangente (T) à Cf au point d'abscisse 1

        y = f(1) + f '(1)(x - 1)

f '(1) = 2(2 + 1)/(1 + 1 + 1)= 6/3 = 2

f(1) = (1+1-1)/(1+1+1) = 1/3

y = 1/3 + 2(x - 1) ⇔ y = 1/3 + 2 x - 2 ⇔ y = 2 x - 5/3

Explications étape par étape