Réponse :Pour montrer que la somme des premiers n entiers impairs est égale à n², vous pouvez utiliser une démonstration par induction mathématique. Voici comment cela fonctionne :

1. Vérification de la base (n = 1) :

Lorsque n = 1, l'expression 1+3+5+7+ ... + (2n-1) devient simplement 1, et n² est également égal à 1. Donc, la formule est vérifiée pour n = 1.

2. Supposons que la formule soit vraie pour n = k, c'est-à-dire que 1+3+5+7+ ... + (2k-1) = k².

3. Montrons que la formule est également vraie pour n = k + 1, c'est-à-dire que 1+3+5+7+ ... + (2(k+1)-1) = (k+1)².

Commencez par la somme des premiers (k+1) entiers impairs :

1+3+5+7+ ... + (2(k+1)-1)

Maintenant, ajoutez le terme supplémentaire (2(k+1)-1) :

1+3+5+7+ ... + (2k-1) + (2(k+1)-1)

Utilisez l'hypothèse de l'étape 2 (formule vérifiée pour n = k) :

(k²) + (2(k+1)-1)

Simplifiez l'expression :

(k²) + (2k+2-1)

(k²) + (2k+1)

(k² + 2k + 1)

(k+1)²

Donc, la formule est également vérifiée pour n = k + 1.

En combinant les étapes 1, 2 et 3, vous avez montré que la formule est vraie pour n = 1, et que si elle est vraie pour n = k, elle est aussi vraie pour n = k + 1. Par conséquent, la formule est vraie pour tout entier naturel non nul n.