Réponse :

Bonjour, je suis en terminale, vous pouvez m’aider s’il vous plaît j’ai besoin de votre aide. Je ne comprends pas cette exercice. Merci pour votre avance.

f(x) = lnx - x + 1    Df = ]0 ; + ∞[

1) a) démontrer que f '(x) = (1 - x)

la fonction f est une somme de deux fonctions dérivables sur Df

donc  f est dérivable sur Df  et sa dérivée f ' est :

   f '(x) = 1/x) - 1  = (1 - x)/x

b) déterminer les variations de f

f '(x) = (1 - x)/x     avec x > 0   donc le signe de f '(x) est de signe de 1 - x

. 1 - x ≥ 0  ⇔ - x ≥ - 1   ⇔ x ≤ 1

. 1 - x ≤ 0  ⇔  - x ≤ - 1  ⇔ x ≥ 1

. 1 - x = 0  ⇔  x = 1

 x     0                          1                           + ∞

f '(x)                 +            0             -

f(x)   - ∞ →→→→→→→→→→→0→→→→→→→→→→→→→ - ∞

              croissante         décroissante

c) en déduire le signe de f(x) sur  ]0 ; + ∞[

puisque f admet un maximum  0 en  x = 1 ;  DONC  f(x) ≤ 0

par conséquent  f(x) est négative sur ] 0 ; + ∞[

2) démontrer que la droite d d'équation  y = x - 1 est tangente à la courbe représentative de la fonction ln x en x = 1

soit  g(x) = ln x   donc  g '(x) = (ln x)' = 1/x

g '(1) = 1  et  g(1) = 0

donc  y = g'(1)(x - 1) + g(1)  = 1 * (x - 1) + 0

donc  y = x - 1    

3) position relative de la courbe de ln x  et  d

ln x - y = ln x - x + 1 = f(x)

or d'après le tableau de variation  on a; f (x) ≤ 0  donc  la courbe de ln x est en dessous de la droite d tangente en x = 1

Explications étape par étape :