bonjour

pour calculer la moyenne harmonique de 2 nombres

 • on calcule la moyenne arithmétique des inverses de ces deux nombres

• puis on prend l'inverse du résultat obtenu

1)

Mh (2 ; 3)

• moyenne arithmétique des inverses de 2 et 3

    (1/2 + 1/3) / 2 = (3/6 +2/6) / 2

                         = (5/6) / 2

                         = 5/12

 •  inverse de 5/12 : 12/5 soit 2,4

Mh(2 ; 3) = 2,4

2)

calcul analogue

3)

Ma (2 ; 3)

la moyenne arithmétique de 2 et 3 est

  ( 2 + 3) / 2 = 5/2 = 2,5

  Ma (2 ; 3) = 2,5

conjecture

       Mh < Ma  

démonstration

étape 1 :   je pars de l'expression donnée dans le cadre

Mh(x ; y) =  2 / (1/x + 1/y) = 2 / [(y + x) /xy]

                                       = 2 * [xy/(x + y)

                                        = 2xy/(x + y)

 étape 2

Ma(x ; y) = (x + y)/2

Ma(x ; y) -  Mh(x ; y) = (x + y)/2 - 2xy / (x + y)       dénominateur commun

                                                                                           2(x + y)

                                 = (x + y)² / 2(x + y) - 2*2xy / 2(x + y)

                                 = [(x + y)² - 4xy] / 2(x + y)

                                  = (x² + 2xy + y² - 4xy) / 2(x + y)

                                  = (x² - 2xy + y²) / 2(x + y)

                                  = (x - y)² / 2(x + y)

étape 3

il est précisé dans l'énoncé que x et y sont positif (j'ajoute strictement)

   le quotient       (x - y)² / 2(x + y) est positif

  la différence        Ma(x ; y) -  Mh(x ; y)  est positive

   le 1er terme est supérieur au second

                          Ma(x ; y) > Mh(x ; y)