Bonjour !

Les fonctions affines, ce sont justes des fonctions comme les autres ! Mais elles peuvent être définies par la formule ax + b.

ax + b, et alors ? D'ailleurs, ça veut dire quoi ?

Une fonction affine pourrait être par exemple f(x) = 4x + 8, ou g(x) = 3x +5

Et f(x) = 5x, c'est une fonction affine ?

Oui ! 5x, c'est la même chose que 5x + 0. On retrouve la forme du ax + b.

Ah. Mais par exemple h(x) = 4x / 2 - 6 + 11 n'a pas la forme de ax + b. Ce n'est donc pas une fonction affine?

Mais si ! Regarde : 4x / 2 - 6 + 11 = 2x - 6 + 11 = 2x + 5.

D'accord. Mais c'est quoi, a et b ? Ça représente quoi ?

Commençons par a.

Prenons un exemple ou a est égal à 2. Donc ax = 2x

Et ?

Testons plusieurs valeurs de x:

x. | 1 | 2 | 3 |

ax| 2| 4 | 6 |

Tiens ? On dirait un tableau de proportionnalité.

C'est un tableau de proportionnalité ! Et qu'est - ce qu'on sait sur les fonctions ou le rapport entre x et f(x) est le même ? Elle forment une droite qui passe par l'origine du graphique.

Donc si on représente une fonction affine graphiquement, on aura une droite qui passe par l'origine du graphique ?

Ah non, car la fonction, c'est pas seulement ax, c'est ax+b. Le b gâche toute la proportionnalité. La fonction restera une droite mais elle ne passera pas par l'origine du graphique.

Essaye de dessiner ces deux fonctions : f(x) = 2x + 1 et g(x) = 2x + 3. Qu'est ce que ça donne ?

J'ai deux droite parallèles sur mon graphique, l'une est plus haute que l'autre.

Oui ! Les droites sont parallèles, car nous avons 2x et 2x dans les deux fonctions. Si on aurait mi 3x pour une des fonctions, sa droite serait plus orientée vers le haut.

Par contre les deux droites ne sont pas à la même hauteur : c'est à cause de +1 et +3 que j'ai mis dans les fonctions. C'est les ''b'' des fonction f et g. Et g a un ''b'' plus grand que f, donc il est plus haut que f. Voilà tout !

OK ! J'ai une question : comment tracer ma fonction affine si je ne sais que les coordonnées d'un point et son coefficient directeur ? Et c'est quoi un coefficient directeur ?

Le coefficient directeur, c'est a. Tout simplement.

Alors imaginons que tu as un point avec les coordonnées x:2 y:6 et a:2.

On sait que nous avons une fonction affine à tracer. Et que notre point appartient à cette fonction.

Donc, ax+b (avec un certain a, un certain x et un certain b) donne l'ordonnée y du point que l'on a. (Car oui, calculer f(x) sert à avoir l'ordonnée du point avec l'abscisse x)

Donc ax + b = y

Eh mais attend ! On connaît déjà le x, c'est l'abscisse du point ! Donc c'est 2 ! Et on connaît a, c'est 2 aussi, c'est le coefficient directeur. Ah et on a l'ordonnée aussi, c'est 6!

Bien joué ! Réécrivons :

2*2 + b = 6

Donc 4 + b = 6

Donc b = 6 - 4 = 2 , b est égal à 2.

On à donc tous les éléments de notre fonction affine : le a, le b, (et le x mais c'est pas important ça.) tu n'as plus qu'a calculer deux ou trois valeurs en remplaçant x par des nombres différents dans la fonction 2x + 2, et tracer une droite passant par ses deux points.

Super ! Et comment je fais pour associer des fonctions à leur représentation graphique ?

Là, il faut réfléchir par soi même. Exemple, tu as deux fonctions : f(x) = 4x + 2 et g(x) = 4x + 1000,

Sur le graphique une droite sera plus haute que l'autre : c'est évidemment g(x).

Deux autres fonctions : h(x) = 2x + 3 et k(x) = 40x + 3

Sur le graphique, une droite sera plus orientée en haut que l'autre : c'est k(x), car les valeurs augmentent beaucoup plus vite.

Voilà, j'espère t'avoir aidé. Je n'assume pas du tout ce que je fais, ça m'a pris des heures, mais bon.

bjr

I)

une fonction affine est une fonction qui s'écrit sous la forme

f(x) = ax + b  

ex  f(x)  = 3x - 5    (a = 3 et b = -5)

    f(x) = (1/3) x + 7     (a = 1/3 et b = 7)

remarque

•  f(x) = (1 - 2x)/3   est une fonction affine

 f(x) = 1/3 - 2x/3

 f(x) = (-2/3)x + 1/3   (   a = -2/3  et b = 1/3)

• f(x) = 2x² - 1   n'est pas une fonction affine à cause du carré

II)

la représentation graphique d'une fonction affine est une droite

je prends un exemple simple

f(x) = 2x + 1

x                 -2        -1        0         1           3              5

2x + 1         -3         -1        1         3           7              11

on lit l'abscisse des points en haut, l'ordonnée en bas

les points (-2 ; -3) ; (-1 ; -1) ; (0 ; 1)   .... sont alignés

III)

construction de la droite avec un point et le coefficient directeur  

image 1 : f(x) = 3x + 2

on connaît le point A (0 ; 2)

le coefficient directeur est 3

pour obtenir un second point de la droite on avance de 1 vers la droite et on monte de 3

 image 2 : f(x) = -2x + 3    coeff -2

on connaît B(0 ; 3)

pour obtenir un second point on avance de 1 vers la droite et on descend de 2

je récapitule

coefficient 3  ou 3/1        1 à droite, 3 vers le haut   (1 dénominateur)

coefficient -2  ou -2/1       1 à droite, 2 vers le bas

si on a un coefficient fractionnaire

coefficient 3/4         4 vers la droite , 3 vers le haut  (4 dénominateur)

coefficient -3/4         4 vers la droite, 3 vers le bas