Bonjour, Maths Niveau Terminal
Je suis bloqué sur cet exercice de probabilité, merci beaucoup pour votre aide.
Un éleveur possède dans un enclos douze taurillons dont trois charolais, quatre limousins et cinq salers. Il en prend simultanément trois au hasard (indépendamment de la race et du poids) pour les conduire à l'abattoir.
On suppose donc les tirages équiprobables, ce qui n'est pas le cas dans la réalité.
1. - Quelle est la probabilité pour qu'il choisisse
a) trois taurillons salers,
b) un taurillon de chaque race,
c) au moins un taurillon charolais?
2. - On définit la variable aléatoire X qui prend pour valeur le nombre de taurillons limousins choisi.
a) - déterminer la loi de probabilité de X
b) - calculer l'espérance mathématique et la variance X
Je suis bloqué sur cet exercice de probabilité, merci beaucoup pour votre aide.
Un éleveur possède dans un enclos douze taurillons dont trois charolais, quatre limousins et cinq salers. Il en prend simultanément trois au hasard (indépendamment de la race et du poids) pour les conduire à l'abattoir.
On suppose donc les tirages équiprobables, ce qui n'est pas le cas dans la réalité.
1. - Quelle est la probabilité pour qu'il choisisse
a) trois taurillons salers,
b) un taurillon de chaque race,
c) au moins un taurillon charolais?
2. - On définit la variable aléatoire X qui prend pour valeur le nombre de taurillons limousins choisi.
a) - déterminer la loi de probabilité de X
b) - calculer l'espérance mathématique et la variance X
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1°)a) On appelle A cet événement, on a un tirage sans remise et sans ordre donc nous avons une combinaisons. Pour les taurillons salers, on a 3 choix parmi 5 donc:
Card (A)=3C5=5!/[3!(5-3)!]=10
Ensuite, on sait que l'on choisit 3 parmi 12 taurillons donc si on nomme ω l'ensemble des possibilités alors:
Card (ω)=3C12=[12!/(3!(12-3)!)]=220
On en déduis alors la probabilité P(A):
P(A)=Card (A)/Card(ω)=10/220=1/22≈0.045 à 10^(-3) près
b) On appelle B cet événement, on reste en combinaisons de 1 parmi 3 pour les charollais, de 1 parmi 4 pour les limousins et de 1 parmi 5 pour les salers:
Card (B)=1C3+1C4+1C5
Card(B)=3+4+5
Card(B)=12
Par la question précédente, on connaît déjà Card(ω) donc:
P(B)=Card(B)/Card(ω)=12/220=3/55≈0.055 à 10^(-3) près
c) On nomme C cet événement, on va plutôt calculer l'événement inverse C(barre) qui la probabilité d'en avoir aucun.
On va calculer Card(Cbarre) qui est le choix de 3taurillons parmi les 9 qui ne sont pas charollais:
Card(Cbarre)=3C9=9!/(3!(9-3)!)=84
On peut donc calculer P(Cbarre) par:
P(Cbarre)=Card(Cbarre)/Card(ω)
P(Cbarre)=84/220=21/55≈0.382 à 10^(-3) près
On veut donc P(C) qui est donnée par:
P(C)=1-P(Cbarre)=1-(21/55)=34/55≈0.618 à 10^(-3) près
2°)a) Cette variable aléatoire X peut prendre la valeur 0,1,2 et 3 donc:
P(X=0)=(3C8)/(3C12)=56/120=7/15≈0.467
P(X=1)=(1C4+2C8)/(3C12)=(4+28)/120=4/15≈0.267
P(X=2)=(2C4+1C8)/(3C12)=(6+8)/120=7/60≈0.117
P(X=3)=(3C4)/(3C12)=4/120=1/30≈0.033
b) L’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X est donnée par:
E(X)=∑(0≤i≤3)Xi*P(X=i)
E(X)=0*(7/15)+1*(4/15)+2*(7/60)+3*(1/30)
E(X)=4/15+14/60+3/30
E(X)=(16+14+6)/60
E(X)=36/60=9/15≈0.6
Comme on sait que:
E(X)=√V(X)
V(X)=(E(X))²
V(X)=(9/15)²
V(X)=81/225=9/25≈0.36