Bonjour, merci d’avance.
Partie 1: Construction d'une suite
On note c(n) le nombre de carrés nécessaires pour construire la figure à l'étape n. La figure initiale correspond
à l'étape 0. Le premier terme est donc c(0) = 1 et on a, par exemple, c(2) = 7.
En utilisant l'illustration ci-dessus, déterminer c(1) et c(3).
Combien de carrés ajoute-t-on pour passer d'une étape à la suivante? Calculer alors c(4) puis c(5).
En continuant ainsi, on obtient une suite de nombres, notée c. Dans ce cas, on dit que la suite c est une suite
arithmétique de premier terme c(0) = 1 et de raison r = 3.
Pour tout entier naturel n, écrire c(n+1) en fonction de c(n). Cette relation s'appelle la relation de
récurrence de la suite c.
Comment calculer c(100) en fonction de c(99) ? Est-ce facilement réalisable ?
Partie 2 : Une nouvelle suite
On s'intéresse maintenant au périmètre de la figure à chaque étape.
On note p(n) le périmètre de la figure à l'étape n. On a ainsi p(0) = 4 et p(1) = 10.
- En utilisant l'illustration ci-dessus, déterminer p (2) et p(3).
6 Justifier que la suite p est une suite arithmétique. Donner alors le premier terme, la raison et la relation de
récurrence de p(n+1) en fonction de p(n).
a. De quelle longueur le périmètre a-t-il augmenté entre l'étape initiale et l'étape 2 ? Entre l'étape initiale et
l'étape 3 ?
b. Recopier et compléter les égalités suivantes : p(2)=p(0)+...x6 ; p(3) - P(0)+... x 6.
c. Compléter la forme explicite de p : pour tout entier naturel n, p(n) = p(0) + ... X....
8 Calculer le périmètre de la figure à l'étape 100.