Bonsoir,

Soient x,y∈ℝ. Soit a∈ℝ⁺

1. La fonction exp de ℝ dans ℝ vérifie la propriété (1). En effet, exp(x) > 0 ⇒ exp(x) ≥ 0

Pourtant, -exp(x) < 0, d'où la fonction -exp(·) de ℝ dans ℝ ne vérifie pas la propriété (1).

Donc l'ensemble des fonctions de ℝ dans ℝ vérifiant la propriété (1) n'est pas un s.e.v de ℱ(ℝ,ℝ)

2. Soient f,g deux fonctions de ℝ dans ℝ vérifiant la propriété (2). Ainsi, f(-x) = -f(x) et g(-x) = -g(x)

Soient α,β∈ℝ. Alors (αf+βg)(-x) = αf(-x)+βg(-x) = α(-f(x))+β(-g(x)) = -αf(x)-βg(x) = -(αf(x)+βg(x)) = -(αf+βg)(x), d'où αf+βg appartient à l'ensemble des fonctions de ℝ dans ℝ vérifiant la propriété (2).

Donc l'ensemble des fonctions de ℝ dans ℝ vérifiant la propriété (2) est un s.e.v de ℱ(ℝ,ℝ)

3. La fonction exp de ℝ dans ℝ vérifie la propriété (3). En effet, elle est strictement croissante, d'où elle est croissante.

Mais alors la fonction -exp(·) de ℝ dans ℝ est strictement décroissante, ainsi cette dernière n'est pas dans l'ensemble des fonctions de ℝ dans ℝ vérifiant la propriété (3).

Donc l'ensemble des fonctions de ℝ dans ℝ vérifiant la propriété (3) n'est pas un s.e.v de ℱ(ℝ,ℝ)

4. Soient f,g deux fonctions de ℝ dans ℝ vérifiant la propriété (4). Ainsi, f(x+y) = f(x)+f(y) et g(x+y) = g(x)+g(y)

Soient α,β∈ℝ. Alors (αf+βg)(x+y) = αf(x+y)+βg(x+y) = αf(x)+αf(y)+βg(x)+βg(y) = αf(x)+βg(x)+αf(y)+βg(y) = (αf+βg)(x)+(αf+βg)(y), d'où αf+βg appartient à l'ensemble des fonctions de ℝ dans ℝ vérifiant la propriété (4).

Donc l'ensemble des fonctions de ℝ dans ℝ vérifiant la propriété (4) est un s.e.v de ℱ(ℝ,ℝ)

5. Soient f,g deux fonctions de ℝ dans ℝ vérifiant la propriété (5). Alors f,g sont continues, et ₋ₐ∫ᵃf(t)dt = ₋ₐ∫ᵃg(t)dt = 0

Soient α,β∈ℝ. Alors d'abord, par multiplication scalaire, αf et βg sont continues, puis par somme de fonctions continues, αf+βg est continue. Enfin, par propriété de linéarité de l'intégrale, on obtient ₋ₐ∫ᵃ(αf+βg)(t)dt = ₋ₐ∫ᵃ(αf(t)+βg(t))dt = ₋ₐ∫ᵃαf(t)dt+₋ₐ∫ᵃβg(t)dt = α(₋ₐ∫ᵃf(t)dt)+β(₋ₐ∫ᵃβg(t)dt) = α*0+β*0 = 0. Ainsi, αf+βg appartient à l'ensemble des fonctions de ℝ dans ℝ vérifiant la propriété (5).

Donc l'ensemble des fonctions de ℝ dans ℝ vérifiant la propriété (5) est un s.e.v de ℱ(ℝ,ℝ)