F est libre (famille de polynome de degré échelloné) et #F = dim R²[X] = 3 donc F est une base de R²[X].

Si on devait prouver que F est libre sans dire quel est de degré échelloné ça ferait ça (inutile dans ce cas mais faut faire ça quand on est dans R⁴ par exemple) :

Etudions la liberté de F. Soient λ, μ, η ∈ R on a:

λ*3 + μ*(7X²+X-5) + η*(8-2X) = 0

⇔(par unicité des coefficients d'un polynome)

{μ7 = 0

{μ-2η = 0

{λ3-5μ+8η = 0

⇔

{λ=0

{μ=0

{η=0

d'où F est libre.