Bonjour, petit exercice du supérieur pour ceux que ça intéresse. Merci à Othmanelab pour l'énoncé : -soit l’espace vectoriel C [X], ainsi le sous-ensemble C_{n}[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à n avec n ∈ N* . Soit B_{n} = {U_{p} : p ∈ {0, 1, . . . , n}} la base de C_{n}[X] formée par les polynômes : U_{p} = X^{p}(1 - X)^{n - p} où p ∈ {0, 1, . . . , n}. On considère l’application β qui à tout élément Q ∈ C [X] associe le polynôme β(Q) = ∑^{n}_{p = 0} Q. (\frac{p}{n} ) C^{p} _{n}U_{p} où C^{p} _{n} = \frac{n!}{p!(n - p)!} et l'application D : C [X] → C [X] définie par : ∀P ∈ C [X], D'(P ) = P' : la dérivée de P a ) Montrer que ∀ 0 ≤ p ≤ n, on a : \frac{X(1-X)}{n}D(U_{p}) = \frac{p}{n}U_{p} - X.U_{p} Traiter les cas p = 0 et p = n à part. b ) Montrer, en utilisant la linéarité de l’application D, que : ∀k∈N* : D(β(X^{k})) = ∑^{n}_{p = 0} (\frac{p}{n} )^{k} C^{p} _{n}D(U_{p} ) c ) soit β une application linéaire de C [X] dans C_{n}[x], déduire de la linéarité de β que : ∀k∈N \frac{X(1 - X)}{n}D(\beta(X^{k}) = \beta(X^{k + 1}) - X\beta(X^{k}) merci d'avance,