Réponse :

11) U0 = 3  et pour tout entier naturel n, Un+1 = 2Un + 4

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,   Un > 0

soit  P(n) :  Un > 0

Initialisation : vérifions que P(0) est vraie

                         U0 = 3 > 0  donc P(0) est vraie

Hérédité :  soit un entier n ≥ 0

       supposons  P(n) vraie  et montrons que P(n+ 1) est vraie

c'est à dire montrons que Un+1 > 0

     Un > 0  ⇔ 2Un > 0  ⇔ 2Un + 4 > 4   puisque 2Un + 4 > 4  donc

2Un  + 4 > 0  donc Un+1 > 0  donc  P(n+1) est vraie

Conclusion :   P(0) est vraie et  P(n) est héréditaire à partir du rang 0

                       donc par récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ 0

13) U0 = 2  et  Un+1 = Un/(1+Un) pour tout entier naturel n

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,  Un > 0

 soit  P(n) :  Un > 0

Initialisation : vérifions que P(0) est vraie

                         U0 = 2 > 0  donc P(0) est vraie

Hérédité :  soit un entier n ≥ 0

       supposons  P(n) vraie  et montrons que P(n+ 1) est vraie

c'est à dire montrons que Un+1 > 0

     Un > 0  ⇔ Un/(1+Un) > 0/(1+Un) ⇔ Un/(1+Un) > 0   donc Un+1 > 0  donc  P(n+1) est vraie

Conclusion :   P(0) est vraie et  P(n) est héréditaire à partir du rang 0

                       donc par récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ 0  

Explications étape par étape