Réponse :

bonjour  f(x)=(1/2)x²-2x+1

Explications étape par étape

1a) on remplace x par 4+h et par 4

(1/2)(4+h)²-2(4+h)-1-[(1/2)(4²)-2(4)+1]

(1/2)(16+8h+h²)-8-2h-8+8-1=(1/2)h²+2h

b) lim qd h tend vers 0 de [(1/2)h²+2h]/h

on factorise h et on simplifie par h (h n'est pas égal à 0 mais tend vers0 la simplification est donc possible)

lim qd h tend vers0 h[(1/2)h+2]/h=lim de 1/2h+2 =2

le nombre dérivé f'(4)=2

2)tracé: conjecture:  cette droite y=2x-7  est tangente à la courbe au point de coordonnée (4; 1)

le coefficient directeur de la droite (2) correspond à f'(4)

Il reste à démontrer que cette droite à un et un seul point de contact avec la courbe. Pour cela on recherche les coordonnées des eventuels  points d'intersection de la courbe et de la droite  en résolvant l'équation f(x)=2x-7

soit (1/2)x²-2x+1-2x+7=0 ou (1/2)x²-4x+8=0

on factorise 1/2

(1/2)(x²-8x+16)=0 ou (1/2)(x-4)²=0 cette équation a une solution unique x=4

y=2x-7 est lattangente à la courbe représentative de f(x) au point d'abscisse x=4  et d'ordonnée 2*4-7=1