Bonjour, pourriez-vous m'aider à résoudre ce devoir maison s'il vous plaît?
Dans un repère (O,I ;J) orthonormé, on donne les points A(-2;-3), B(4 ;1) et C(-1;2). 1. Faire une figure en choisissant 1cm pour une unité. On complètera cette figure lors des questions suivantes. 2. Déterminer les coordonnées des vecteurs AB, AC et BC. 3. Calculer les normes de ces vecteurs. En déduire que le triangle ABC est isocèle rectangle. 4. Déterminer les coordonnées du point D tel que BCAD soit un parallélogramme. 5. Soit E (1; 1,5). Les points B, C et E sont-ils alignés ? 6. Soient F(0; -1) et G (2,5; -2). Les droites (BC) et (FG) sont-elles parallèles ? 7. Déterminer la valeur de t tel que le point H(t; 0) soit sur la droite (BC). 8. Déterminer la valeur de m tel que le point K(0; m) soit sur la roite (BC).
Dans un repère (O,I ;J) orthonormé, on donne les points A(-2;-3), B(4 ;1) et C(-1;2). 1. Faire une figure en choisissant 1cm pour une unité. On complètera cette figure lors des questions suivantes. 2. Déterminer les coordonnées des vecteurs AB, AC et BC. 3. Calculer les normes de ces vecteurs. En déduire que le triangle ABC est isocèle rectangle. 4. Déterminer les coordonnées du point D tel que BCAD soit un parallélogramme. 5. Soit E (1; 1,5). Les points B, C et E sont-ils alignés ? 6. Soient F(0; -1) et G (2,5; -2). Les droites (BC) et (FG) sont-elles parallèles ? 7. Déterminer la valeur de t tel que le point H(t; 0) soit sur la droite (BC). 8. Déterminer la valeur de m tel que le point K(0; m) soit sur la roite (BC).
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Explications étape par étape:
Voici la figure avec les points A, B et C :
1. La figure est donnée ci-dessus.
2. Les coordonnées des vecteurs AB, AC et BC sont :
AB = (4 - (-2), 1 - (-3)) = (6, 4)
AC = (-1 - (-2), 2 - (-3)) = (1, 5)
BC = (-1 - 4, 2 - 1) = (-5, 1)
3. Les normes de ces vecteurs sont :
||AB|| = sqrt(6^2 + 4^2) = 2*sqrt(13)
||AC|| = sqrt(1^2 + 5^2) = sqrt(26)
||BC|| = sqrt(5^2 + 1^2) = sqrt(26)
Comme ||AC|| = ||BC||, le triangle ABC est isocèle en C. De plus, on a :
||AC||^2 + ||BC||^2 = 26 + 26 = 52
||AB||^2 = (2*sqrt(13))^2 = 52
Donc, le triangle ABC est rectangle en C d'après le théorème de Pythagore.
4. Le point D est le symétrique de A par rapport au milieu de BC, qui a pour coordonnées ((-1 + 4)/2, (2 + 1)/2) = (3/2, 3/2). Le vecteur BC a pour coordonnées (-5, 1), donc le vecteur AD a pour coordonnées (-5, 1) et les coordonnées de D sont :
x_D = x_A + (-5) = -2 - 5 = -7
y_D = y_A + 1 = -3 + 1 = -2
Ainsi, les coordonnées de D sont (-7, -2).
5. Les coordonnées de B sont (4, 1), celles de C sont (-1, 2) et celles de E sont (1, 1.5). Pour vérifier si les points B, C et E sont alignés, il faut calculer le vecteur BE et le vecteur CE, et vérifier s'ils sont colinéaires :
BE = (1 - 4, 1.5 - 1) = (-3, 0.5)
CE = (1 - (-1), 1.5 - 2) = (2, -0.5)
Les vecteurs BE et CE ne sont pas colinéaires, donc les points B, C et E ne sont pas alignés.
6. Les coordonnées de F sont (0, -1), celles de G sont (2.5, -2). Les vecteurs BC et FG ont pour coordonnées respectives (-5, 1) et (2.5, -1). Pour que les droites (BC) et (FG) soient parallèles, il faut que les vecteurs BC et FG soient colinéaires. Or, ce n'est pas le cas, donc les droites (BC) et (FG) ne sont pas parallèles.
7. La droite (BC) a pour équation y = kx + m, avec k = 1/5, d'après les coordonnées de BC. Le point H(t, 0) est sur cette droite si et seulement si :
0 = k*t + m
m = -k*t
Ainsi, les coordonnées du point H sont (t, -k*t), où k = 1/5.
8. La droite (BC) passe par les points B(4, 1) et C(-1, 2), donc elle a pour équation :
(y - 1) / (x - 4) = (2 - 1) / (-1 - 4)
(y - 1) / (x - 4) = -1/5
y - 1 = (-1/5)*(x - 4)
y = (-1/5)*x + 9/5
Le point K a pour coordonnées (0, m), donc il est sur la droite (BC) si et seulement si :
m = (-1/5)*0 + 9/5
m = 9/5
Ainsi, la valeur de m pour que le point K soit sur la droite (BC) est 9/5.