Si f est une fonction dérivable sur un intervalle contenant un réel a, la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a a pour équation: y = f(a) + f′(a)(x - a) .
f(a)= a² + 4 a + 4
f'(a) = 2 a + 4
Equation recherchée :
y = f(a) + f′(a)(x - a)
y = (a² + 4 a + 4) + (2 a + 4)(x - a)
y = a² + 4 a + 4 + 2 ax -2 a² +4x - 4a (7 termes)
y= a² -2 a² + 4 a - 4a + 4 + 2ax + 4x (7 termes, ok !)
y= - a² + 4 +(2a+4)x
Tangente Ta au point A :
y = (2a+4) x - a² + 4
3.2) n entier naturel ( >=0)
Tangente Tn au point A :
y = (2n+4) x - n² + 4
3.3.a) Tn coupe l'axe des x au point Bn (Xn;0)
0 = (2n+4) Xn - n² + 4
(2n + 4) Xn - n² + 4 = 0
(2n+4) Xn = n² - 4
Xn = (n² - 4) /(2n+4)
Remarque : (n² - 4) = (n-2)(n+2)
et 2n+4 = 2(n+2)
On voit un facteur commun entre le numérateur et le dénominateur
comme n est entier naturel, n+2 n'est pas nul. on peut donc simplifier.
Xn = (n-2)/2 = n/2 -1
3.3.b) suite n/2 -1
n = 0 : X0 = - 1
une suite est arithm. si , pour obtenir un terme, on ajoute une valeur au précédent. Cette valeur, toujours la même , est appelée raison.
Ok, si tu ne sais pas, essaye !
X0 = -1
X1 = 1/2 - 1 = -1/2 diff avec le précédent : + 1/2
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Réponse :
Explications étape par étape :
3.1) f(x) = x² + 4 x + 4
Théorème :
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle contenant un réel a, la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a a pour équation: y = f(a) + f′(a)(x - a) .
f(a)= a² + 4 a + 4
f'(a) = 2 a + 4
Equation recherchée :
y = f(a) + f′(a)(x - a)
y = (a² + 4 a + 4) + (2 a + 4)(x - a)
y = a² + 4 a + 4 + 2 ax -2 a² +4x - 4a (7 termes)
y= a² -2 a² + 4 a - 4a + 4 + 2ax + 4x (7 termes, ok !)
y= - a² + 4 +(2a+4)x
Tangente Ta au point A :
y = (2a+4) x - a² + 4
3.2) n entier naturel ( >=0)
Tangente Tn au point A :
y = (2n+4) x - n² + 4
3.3.a) Tn coupe l'axe des x au point Bn (Xn;0)
0 = (2n+4) Xn - n² + 4
(2n + 4) Xn - n² + 4 = 0
(2n+4) Xn = n² - 4
Xn = (n² - 4) /(2n+4)
Remarque : (n² - 4) = (n-2)(n+2)
et 2n+4 = 2(n+2)
On voit un facteur commun entre le numérateur et le dénominateur
comme n est entier naturel, n+2 n'est pas nul. on peut donc simplifier.
Xn = (n-2)/2 = n/2 -1
3.3.b) suite n/2 -1
n = 0 : X0 = - 1
une suite est arithm. si , pour obtenir un terme, on ajoute une valeur au précédent. Cette valeur, toujours la même , est appelée raison.
Ok, si tu ne sais pas, essaye !
X0 = -1
X1 = 1/2 - 1 = -1/2 diff avec le précédent : + 1/2
X2 = 1 - 1 = 0 diff avec le précédent : + 1/2
X3 = 3/2 - 1 = 1/2 diff avec le précédent : + 1/2
Ok, maintenant, généralisons : :
Xn = n/2 -1
X(n+1) = (n+1)/2 - 1 = n/2 + 1/2 -1 = (n/2 -1 ) + 1/2
X(n+1) = Xn + 1/2, quelque soit n
Donc, Xn, suite arithmétique de raison 1/2 et X0 = -1
Exercice 4 )
U(n+1) = 2 Un / (2 + 3 Un) et U0=1
1) U1 = 2 U0/(2+3U0) = 2 /(2+3) = 2/5
U2= 2 U1/(2+3U1) = ... = 1/4
2) Arithmétique si , pour passer d'un terme à l'autre on ajoute toujours la même quantité.
Essayons : U(n+1) - Un = 2 Un / (2 + 3 Un) -Un
U(n+1) - Un = 2 Un / (2 + 3 Un) -Un (2 + 3 Un)/(2 + 3 Un)
U(n+1) - Un = [2Un - Un (2 + 3 Un) ]/(2 + 3 Un)
U(n+1) - Un = [2Un - 2Un + 3 Un² ]/(2 + 3 Un)
U(n+1) - Un = 3 Un²/(2 + 3 Un)
Comme cette différence n'est pas constante indépendamment de n, ce n'est pas une suite arith.
Géométrique, si le ratio de 2 termes consécutifs est constant
ratio U(n+1) / Un ?
U(n+1) / Un = [2 Un / (2 + 3 Un)] / Un
U(n+1) / Un = 2 / (2 + 3 Un)
ratio pas constant, suite pas géométrique
3) Il manque l'expression de Vn .
Exercice pas faisable.