Réponse:

Bonjour, ci-dessous ma solution :

Exercice 1 :

1) h(n+1) = 0,55hn

2) (hn) est une suite géométrique, de raison q = 0,55.

hn = h0 × 0,55^n = 0,55^n

3) abs(0,55) < 1 donc (hn) tend vers 0.

4) La hauteur est inférieure à 0,5 cm lorsque :

hn < 0,5 × 10^(-2) = 0,005

0,55^n < 0,005

n >= 9.

9 rebonds.

Exercice 2 :

1) g(x) = ln(x) + 2x^2 - 3

a) g est dérivable sur ]0, +inf[ avec :

g'(x) = 1/x + 4x

b) g' est positif, donc g est croissante.

Sa limite en 0 : -inf

Sa limite en +inf : +inf

c) En fait g' est strictement positif sur ]0, +inf[, donc g eststrictement croissante.

g est aussi continue, et 0 appartient à ]-inf, +inf[, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas des fonctions strictement monotones, l'équation g(x) = 0 admet une unique solution.

D'après la calculatrice, alpha = 1,19 (arrondi à 10^(-2) près).

d) g(x) est négatif sur ]0, alpha[ et positif sur ]alpha, +inf[.

2) f(x) = 2/x - lnx/x + 2x - 5

a) f est bien dérivable sur ]0, +inf[, et on a :

f'(x) = -2/x^2 - (1/x*x - lnx)/x^2 + 2

f'(x) = (-2 - 1 + lnx + 2x^2)/x^2

f'(x) = (lnx + 2x^2 - 3)/x^2

f'(x) = g(x)/x^2

b) f'(x) est de même signe que g(x).

Donc d'après l'étude du signe de g, f est décroissante sur ]0, alpha[ et croissante sur ]alpha, +inf[.

Voilà j'espère que ça vous a aidé ! :)

Setra