Réponse :

f(x) = ln(x) - x/2 - 1

Explications étape par étape :

On a: f(x)=ln(x) +ax + b avec a et b deux réels.

Pour déterminer une expression de f(x), il suffit de déterminer les valeurs de a et b.

D'aprés le tableau de variations:  f(2)= -2ln2 et f(10)= -6+ln10

Alors: f(2) = ln(2) + 2a + b = -2 + ln(2) et f(10) = ln(10) + 10a + b = -6 + ln(10)

Alors: 2a+b=-2 et 10a + b = -6

Alors: 2a+b=-2 et (10a + b)-(2a+b) = -6-(-2)

Alors: 2a+b=-2 et 10a + b-2a-b= -6+2

Alors: 2a+b=-2 et 8a = -4

Alors: 2a+b=-2 et a = -4/8

Alors: 2a+b=-2 et a = -1/2

Alors: 2(-1/2)+b=-2 et a = -1/2

Alors: -1+b=-2 et a = -1/2

Alors: b=-1 et a = -1/2

D'où f(x) = ln(x) - x/2 - 1 est une expression de f(x).

Remarque: On peut également déterminer a en utilisant f'(2)=0 indiqué au tableau de variation.