Réponse :

Explications étape par étape :

[tex]u_n-\sqrt{n} =\sqrt{3n+1} -\sqrt{n} =\frac{(\sqrt{3n+1} -\sqrt{n})(\sqrt{3n+1} +\sqrt{n})}{\sqrt{3n+1} +\sqrt{n}} = \frac{3n+1 -n}{\sqrt{3n+1} +\sqrt{n}} = \frac{2n+1}{\sqrt{3n+1} +\sqrt{n}}[/tex]

n est un entier naturel donc [tex]\frac{2n+1}{\sqrt{3n+1} +\sqrt{n}} > 0[/tex] donc [tex]u_n-\sqrt{n} > 0[/tex]

soit [tex]u_n > \sqrt{n}[/tex]

la limite quand n tend vers + ∞ est + ∞ et [tex]u_n > \sqrt{n}[/tex] donc  [tex]u_n[/tex] tend vers + ∞