Réponse :

1.  a) calculer les coordonnées de vec(AB) et vec(CD)

          vec(AB) = (3+9 ; 5 - 7) = (12 ; - 2)

          vec(CD) = (- 4 - 8 ; 0 + 2) = (- 12 ; 2)

   b) en déduire la nature du ABCD

           ABCD est un parallélogramme  car vec(AB) = vec(DC)  

or vec(DC) = -vec(CD)

2) a) calculer les coordonnées de M et N

  M milieu de (AB)  ⇔ M((3-9)/2 ; (5+7)/2)  ⇔ M(- 3 ; 6)

   N(x ; y)  tel que vec(DN) = 1/2)vec(DC)  ⇔ (x + 4 ; y) = 1/2(12 ; - 2) = (6 ; - 1)

⇔ x + 4 = 6  ⇔ x = 6 - 4 = 2  et  y = - 1  ⇔ N(2 ; - 1)

   b) calculer le déterminant des vecteurs MD et BN

          vec(MD) = (- 4 + 3 ; 0 - 6) = (- 1 ; - 6)

          vec(BN) = (2 - 3 ; - 1 - 5) = (- 1 ; - 6)

   le déterminant  D = x'y - y'x  ⇔ D = - 1*(-6) - (- 6)*(-1) = 6 - 6 = 0

      c) calculer la norme de vec(BM) , vec(BN)  et vec(MN)

        vec(BM) = (- 3 - 3 ; 6 - 5) = (- 6 ; 1) ⇒ ||BM|| = √((-6)²+ 1²) = √37

        vec(BN) = (- 1 ; - 6) ⇒ ||BN|| = √((-1)² + (-6)²) = √37

        vec(MN) = (2+3 ; - 1-6) = (5 ; - 7) ⇒ ||MN|| = √(5²+(-7)²) = √74

   d) montrer que MBN est un triangle rectangle

             BM² + BN² = 37 + 37 = 74

              MN² = 74

on a BM²+ BN² = MN²  donc d'après la réciproque du th.Pythagore

le triangle MBN est rectangle isocèle en B

   e) en déduire la nature du quadrilatère MBND

             MBND est un carré car MB = BN et ^MBN est droit      

Explications étape par étape