Réponse :

Bonjour,

Pour prouver que le triangle DEF est équilatéral, il faut prouver que les 3 côtés du triangles sont bien égaux. Pour cela, on va prouver que les triangles ADE et DCF sont isométriques (cela prouvera que DE = DF) et que les triangles BFE et ADE sont isométriques (cela prouvera que DE = EF)

Pour montrer que deux triangles sont isométriques, il y a 3 possibilités (critères) :

1) C - C - C : les côtés sont isométriques 2 à 2

2) C - A - C : 2 côtés du premier triangles sont isométriques aux côtés respectifs du deuxième triangle et l'amplitude de l'angle compris entre ces deux côtés est de même amplitude

3) A - C - A : 1 côté du premier triangle est isométrique à un côté du second et les amplitudes des deux angles adjacents à ce côté sont respectivement égales.

Prouvons que ADE est isométrique à DCF :

A = C = 60° car ABC est un triangle équilatéral

AE = CD car énoncé

AD = AC - CD

CF = CB - BF

Or on sait que AC - CD = CB - BF donc on en déduit que AD = CF

On a bien le critère CAC et donc on en déduit que DE = DF

Prouvons de la même manière que ADE est isométrique à BEF :

A = B = 60° car ABC est un triangle équilatéral

AE = BF car énoncé

AD = AC - CD

EB = AB - AE

Or on sait que AC - CD = AB - AE donc on en déduit que AD = EB

On a bien le critère CAC et donc on en déduit que DE = EF

Le triangle DEF a bien les côtés de même longueur et donc DEF est un triangle équilatéral.

J'espère que cette réponse t'aura été utile ;)