Explications étape par étape:

Bonsoir,

1-a Ici, je pense qu'il n'y a aucune difficulté pour toi non plus. Strictement croissante de -infini à 2, puis strictement décroissante de 2 à + infini.

b- Identiquement à la visualisation précédente, on peut affirmer que f(x) <= 0 sur ]-infini ; 0] U [4 ; +infini[, puis f(x) >= 0 sur [0 ; 4].

c- Ici, tu peux tracer la droite horizontale d'équation y = 3. Cela te permettra de déterminer directement l'ensemble des solutions de l'inequation. Ainsi, f(x) >= 3 sur [1 ; 3].

2-a Pour résoudre ce système, on commence par le simplifier au maximum. On peut diviser la 1re ligne par 2, ainsi que la 2e par 5, ce qui donne :

2a + b = 2

5a + b = -1

On soustrait la 2e ligne à la 1re pour éliminer le b, on déduit que 3a = -1 -2 = -3, donc a = -1.

Ensuite, en remplaçant a par -1 dans la 1re ligne, on déduit que b = 4.

b- Si f passe par le point A(2 ; 4), cela signifie que f(2) = 4. De même, si f passe par B(5 ; -5), f(5) = -5.

En remplaçant ces valeurs dans l'équation de la fonction f(x) = ax^2 + bx, on obtient :

f(2) = 4a + 2b = 4

f(5) = 25a + 5b = -5.

On reconnaît le système précédent, dont on a obtenu les valeurs a = -1 et b = 4.

Ainsi, en remplaçant, f(x) = -x^2 + 4x.

3-a Ici, aucun problème, on développe :

-(x-2)^2 + 4 = -(x^2 - 4x + 4) + 4 = -x^2 + 4x - 4 + 4 = -x^2 + 4x = f(x).

b- Un peu plus subtil. La fonction carrée est croissante sur [0 ; +infini[, ainsi, (x-2)^2 est croissante sur [2 ; +infini[.

D'où -(x-2)^2 est décroissante sur [2 ; +infini[, puis -(x-2)^2 + 4 = f(x) est décroissante sur [2 ; +infini[. Car, on se contente de faire une translation de la fonction -(x-2)^2, 4 cases plus haut.

Même chose pour ]-infini ; 0], où on concluerait sa croissance.

c- f(x) <= 0 si et seulement si -(x-2)^2 + 4 <= 0, ce qui équivaut à -(x-2)^2 <= -4

On multiplie par -1, ce qui change le signe de l'inégalité :

(x-2)^2 >= 4. Ceci nous permet de déduire que x-2 <= -2 ou x-2 >= 2, d'où x <= 0, ou x >= 4.

Conclusion : f(x) <= 0 sur ]-infini ; 0] U [4 ; +infini[.

De même, on peut déduire que f(x) >= 0 sur [0 ; 4],

d- Développement : (1-x)(x-3) = x - 3 - x^2 + 3x = - x^2 + 4x - 3.

e- En vertu de l'expression précédente, -x^2 + 4x - 3 = f(x) - 3. Par conséquent, f(x) >= 3 donne (1-x)(x-3) >= 0.

2 possibilités : 1-x et x-3 >= 0, ce qui donne x <= 1 et x >= 3, absurde.

1-x <= 0 et x-3 <= 0, qui implique que x >= 1 et x <= 3, qui est cohérent.

Ainsi, comme l'indiquait le graphique, f(x) >= 3 si et seulement si x € [1 ; 3].